杨广明

（重庆电子工程职业学院，重庆 401331）

0 引言

弧齿锥齿轮是一种应用在交错轴和相交轴，并承担高速重载传动的空间齿轮，在汽车传动装置等领域应用广泛[1]。长期以来，弧齿锥齿轮的齿面形式只能在有限的几种模式中选择，其齿面形式取决于所采用的机床形式，并且承载能力及振动噪声问题严重影响其在工业装备中的进一步应用[2]。

如何提高弧齿锥齿轮的传动性能，降低啮合噪声是目前亟待解决的主要问题，当前相关研究主要局限于以实现齿面优化，提高承载能力为目标的几何设计、加工制造以及接触特性分析，仍未从根本上有效地提升传动性能[3～6]。

区别于一般齿轮共轭曲面成型理论，本文基于空间曲线啮合理论，提出新型点接触弧齿锥齿轮齿面成型原理，建立高性能轮齿齿面设计方法，为进一步开展该新型齿轮传动的设计制造和工业应用奠定理论基础。

1 齿面成型原理及设计方法

图1 空间啮合坐标系

在坐标系S1下，给定齿轮1上空间圆锥螺旋曲线表达式：

式中θ为圆锥螺旋曲线参数，p为螺旋参数。

根据共轭曲线原理[7]，一对啮合曲线沿指定接触方向的啮合方程可表示为：

其中：

i21表示齿轮传动比，nx, ny, nz分别为沿给定接触方向的法矢量在各坐标轴的分量。依据坐标变换，联立式(1)和式(2)，推导得到齿轮2上配对啮合的曲线方程为：

图2 等距包络设计

将上述求得的一对共轭的圆锥螺旋曲线沿指定法线方向做等距运动，等距线可表示为：

式中h为等距量，当h＞0时，曲线沿指定法线的正向等距，当h＜0时，曲线沿指定法线的负向等距。

以等距量|h|为半径，等距线上任意一点为球心建立球面模型，并沿求得的等距线运动包络成管状啮合面，进一步按设计要求利用齿顶圆及齿根圆截取该曲面最终形成轮齿齿面。参照齿面构建方法[8]，分别得到该新型齿轮的齿面方程：

上述弧齿锥齿轮齿面成型过程以空间共轭的圆锥螺旋曲线为基础，齿面继承了原有曲线的啮合特性，即沿齿轮轴线方向的点接触，可实现近似纯滚接触；同时，所最终形成的齿廓形式为凸、凹圆弧样式，相比原有渐开线齿廓可有效增大综合曲率半径，从而提高接触强度。

设计实例参照表1中参数，建立的三维实体模型如图3所示，通过运动仿真分析该齿面能够实现既定要求。

表1 弧齿锥齿轮啮合副设计参数

图3 三维实体模型

2 齿面接触分析

依据弹性力学理论圣维南原理，在远离齿轮接触区域，其受力分布情况对接触区域影响不大，误差小于百分之一。为节约计算量，对大小齿轮各选4个齿进行有限元分析，其几何模型如图4所示。

图4 锥齿轮副有限元分析几何模型

对于齿轮实体部分，由于目前接触算法的固有限制，应用高阶实体单元会导致等效节点接触力在角节点和边中节点之间的震荡，对于接触状态的校核和判断是不利的。在实际应用中，应用高阶单元特别是高阶六面体单元进行接触分析会导致计算难以收敛，因此，综合考虑计算效率及精度后，选用低阶六面体单元SOLID185单元划分大小齿轮实体部分网格。在接触区域附近，应力变化十分剧烈，同时会在相当大程度上直接影响接触应力计算结果，为保证计算精度，经试算后，对参与接触齿面部分单元边长大小设定为0.2mm，对其它部分单元边长大小设定为1mm～2mm。

该齿轮副接触模型采用赫兹接触模型，即不考虑摩擦对接触应力影响。而在考虑计算效率及适应性后，采用增广拉格朗日算法进行接触计算。在轮齿接触过程中，任意一对轮齿均会出现啮入及啮出过程，其接触状态不定，将接触行为设定为标准接触。而接触对法向接触刚度FKN经过试算后设定为1，可以综合满足计算效率及计算精度要求。

有限元分析里面的实体单元节点仅有UX, UY, UZ三方向自由度。为实现转动及转矩的施加，在齿轮副有限元分析里面运用多点约束单元（MPC184单元），其实际情况相当于在转动中心点与转动约束面之间施加多根刚性梁连接，在数学上表现形式为坐标变换。其中，在大齿轮底面与转动中心点建立基于多点约束算法的绑定接触对，在小齿轮内壁与转动中心点同样建立基于多点约束算法的绑定接触对。在转动中心节点与绝对坐标系间对大小齿轮分别建立以各自回转轴为自由度运动学约束的184单元，如图5所示。

图5 有限元分析模型

考虑到各型齿轮材料与齿面接触分析相关的物性参数（弹性模量及泊松比）变化不大，变化通常小于百分之一，因此选用20CrMnMo作为定性材料进行分析，其物性参数弹性模量E=210000MPa，泊松比ν=0.254。对于边界载荷，设定为小齿轮施加114Nm转矩，大齿轮施加0.3rad/s的角速度。在啮合过程，小齿轮在某一位置的等效应力云图如图6所示。

图6 小齿轮等效应力

在建立有限元模型时，包括模型几何长度，物性参数等都是以mm作为长度基准的，因此，上图中等效应力数值单位应为kPa。可以看出，由于小齿轮齿轮根部是圆弧曲线形式，在该位置应力集中现象不算严重。即便是在未给齿根部分以过渡曲线圆滑过渡的情况下，其齿轮齿根部分弯曲应力也一般在200MPa以内。同时，小齿轮接触点运动轨迹是在理论接触线区域，接触位置处于沿齿高方向中部位置，并未移动到齿顶部分造成尖点接触。综合有限元分析过程，小齿轮最大等效应力最大值为1388.54MPa，最大等效应力最小值为926.87MPa。

某一啮合位置下，大齿轮的等效应力云图如图7所示。

图7 大齿轮等效应力

从图中可以看出，大齿轮齿根部分弯曲应力也相对较小，在200MPa以内。在各个时刻有限元分析过程中，大齿轮最大等效应力最大值为1512.75MPa，最大等效应力最小值为915.62MPa。

齿轮对的接触应力简图如图8所示。在接触单元构成的齿面上，齿轮呈现明显的点接触特性。在大多数情况下，接触区域形状为近似椭圆。椭圆形状的接触区域轮廓符合理想情况下赫兹接触理论预测。但是由于齿根弯曲变形会对齿轮实际接触情况产生影响，因此接触区域只是近似椭圆。由于沿齿宽方向齿廓截面形状并不一致，其轮齿在各截面抗弯刚度因而不同，因此在加载时，齿根弯曲变形并不一致，这造成在部分接触区域会有两个分离的接触应力高值区。在啮合过程中，最大接触应力最大值为2324.2MPa，最大接触应力最小值为1758.74MPa。

图8 锥齿轮副接触应力

3 结论

本文提出一种新型点接触弧齿锥齿轮传动，主要结论如下：1）基于空间曲线啮合理论提出了齿面成型原理，推导并建立了圆锥螺旋曲线沿给定接触方向的啮合方程，利用等距包络设计方法成形了轮齿齿面；2）基于数值实例建立了三维实体模型，运动仿真分析表明：该齿轮传动啮合过程沿轴线方向呈点接触；形成的凸、凹圆弧齿廓相比原有渐开线能够有效增大综合曲率半径，从而提高接触强度等性能；3）基于有限元手段对齿轮副进行了力学特性分析，接触区域符合理论设计，并具有优良的特性；4）后续将进一步开展该新型传动设计、制造及实验性能分析，预期具有广泛应用前景。

[1] 周渝庆,常艳.弧齿锥齿轮的模型重建与有限元分析[J].煤矿机械,2014,35(6)：123-125.

[2] 王春香,李双青.基于Imageware和Pro/E的齿轮逆向工程模型重建技术研究[J].机械传动,2010,34(8)：10-12.

[3] 唐进元,蒲太平.弧齿锥齿轮动态啮合有限元数值分析[J].机械科学与技术,2009,28(8)：981-985.

[4] Litvin F.L., Fuentes A., Hayasaka K.Design, manufacture, stress analysis, and experimental tests of low-noise high endurance spiral bevel gears[J]. Mechanism and Machine Theory,2006,41(1)：83-118.

[5] 苏进展,方宗德,王祖兵.螺旋双曲面齿轮修形及啮合特性[J].航空动力学报,2011,(6)：1436-1440.

[6] 贺敬良,吴序堂.交错轴渐开线锥形齿轮副啮合原理研究[J].机械工程学报,2004,(4)：81-84.

[7] 陈兵奎,梁栋,高艳娥.齿轮传动共轭曲线原理[J].机械工程学报, 2014,50(1)：130-136.

[8] 陈兵奎,高艳娥,梁栋.共轭曲线齿轮齿面的构建[J].机械工程学报,2014,50(3)：18-24.