林革

大家都知道，《几何原本》是数学史上的经典之作。几乎所有的人都坚信，欧几里得几何是物理空间的正确抽象，欧几里得的公设是不证自明的真理;有些数学家却不这么看，甚至还有点苛刻和较真。他们习惯于用怀疑的眼光去打量这些真理。对于欧几里得几何中的第五公设，即平行公设（如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于1800，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于1800的一侧相交），这些数学家更是疑虑重重，由于第五公设的真理性不像其他的公设那样明显，所以缺乏绝对的说服力，必须加以证明。

欧几里得

非欧几何的诞生，就始于人们努力消除对欧几里得平行公设的怀疑这一过程中。

数学家们认为，第五公设如果不作为公理，就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。所以，从希腊时代到公元1800年的2000多年里，许多著名的数学家都加入到了证明第五公设的大军中。他们呕心沥血，试图证明该公设的正确性，但都徒劳无功。其中有不少数学家兴高采烈地宣布，自己已经证明了第五公设;但没过多久，就被他人指出其中的错误，使得结论无法成立。以至于1759年法国数学家达朗贝尔把平行公设问题称为“几何原理中的家丑”。

第一位从证明第五公设大军中觉醒的，是被誉为“数学王子”的德国著名数学家高斯。高斯是18世纪最伟大的数学家，也是数学史上最负盛名的大师之一。他在数学上的非凡造诣和杰出成就，使其享有“欧洲数学之王”的美誉。作为广受尊敬和称赞的数学巨匠，高斯一生中唯一为人所诟病的正是他参与求证第五公设后的表现。

当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是：“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说，如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理;反过来，如果把平行公理当成公理，同样可以把第五公设作为定理证明出来。由于平行公理的叙述比第五公设简单、明确，因此，证明第五公设实则上就是证明平行公理。后来，数学家又发现，平行公理和“三角形内角之和等于1800”也是等价的，如果能证明出“三角形内角之和等于1800”，也就等于证出了平行公理和第五公设，所以，大家又转向证明这个结论。

高斯起初也在这样的思维轨道上努力;可当他竭尽全力仍一筹莫展时，逐渐意识到平行公理是不可证明的。1817年，高斯在写给朋友的信中已经提到这个猜想;而且，更可贵的是，高斯在“不能证出”思路的启发下继续研究，竟发现了一种前所未有可谓惊人的新几何学。1824年，47岁的高斯给朋友写信时提到：“三角形内角之和小于1800，这个假定引向一种特殊的、和我们的几何学完全不相同的几何，这种几何是完全相容的，当我发现它的时候，结果完全令人满意。”

最初，他把这种新几何称为“反欧几何”;后来，改称“星空几何”;最后，称其为“非欧几何”。

遗憾的是，高斯终生也没有公开发表这种与欧氏几何迥然相异的新几何学发现。因为在当时，康德的唯心主义空间理论占据着统治地位。这种理论认为，人生下来就有空间观念，这个空间就是欧几里得空间，它是唯一的空间。所有的人包括数学家对此都深信不疑。高斯担心，自己石破天惊的发现会引发世俗的惊异和讥讽，令自己有丢失名誉的风险，所以一直不敢把研究结果公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和书信中，直到他死后才被披露出来。

当高斯保持缄默时，一位匈牙利数学天才小波约伊却率先提出了这一新几何学。

“数学王子”高斯

说起来，高斯与小波约伊二人独立研究的不谋而合似乎在冥冥之中早已注定。因为小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友，这位数学家的毕生心血都倾注在平行公理的证明上，但是没有成功。当小波约伊知道父亲一生未果的事业是证明平行公理时，天生的基因、家庭的熏陶和强烈的好奇也把小波约伊吸引到证明平行公理的行列。老波约伊知道儿子的所为后非常紧张，害怕他也和自己一样，搭上一生求证，到头来竹篮打水一场空。所以，老波约伊不停地写信，劝阻小波约伊退出这一领域。

可父亲的苦口婆心并没有使小波约伊停下探索研究的脚步，天赋异禀的他很快就得出了与高斯相同的结果。他于1823年激动地把自己的发现写信告诉父亲，并决定发表自己的研究成果。当时的小波约伊只有21岁。

1832年，老波约伊出版了一本几何著作，这本书以附录的形式发表了小波约伊的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文，虽然全文只有24页，但其中关于非欧几何的观点已经非常清楚。

不过，这并非小波约伊的最终目的，他非常希望自己的观点能得到数学权威高斯的支持，所以他给高斯写信征求意见;可高斯在回信中只是赞扬他有数学天分，并没有对小波约伊提出的新几何学给予热情支持。这让小波约伊颇为失望，研究的热情受到极大挫伤。

到1848年，当他惊奇地读到罗巴切夫斯基的德文译著时，才发现，这位俄国数学家和自己几乎是同时发现了非欧几何。看到如出一辙的详尽内容和理解被公之于众，小波约伊失落痛苦的心情可想而知，他对自己的发现没有得到应有的认可非常恼怒，继而变得十分消沉沮丧，从此放弃了对数学的研究。

一个非凡的数学天才就此被无情埋没，不免令人惋惜。

1826年，在喀山大学的一次物理学会议上，俄国数学家罗巴切夫斯基宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文，其中稀奇古怪的内容和命题让与会的数学家目瞪口呆。诸如，三角形的内角和小于1800，锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。

1829年，罗巴切夫斯基又撰写发表了一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重申了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展，宣告了非欧几何的创立。

因为罗氏几何动摇了旧的传统空间观念，而且还与人们的日常经验相背离;所以，罗巴切夫斯基遭遇到高斯当初所担心的一切：嘲笑讥讽、歪曲贬低、非难谩骂、人身攻击。学术界也持不屑一顾和冷漠否定的态度，以至于彼得堡科学院对其著作给出的鉴定是：“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。显然，他达到了自己的目的……这部著作谬误连篇，荒诞不经，因而可以忽略不计。”

令人叹息的是，在这个关键时刻，高斯并没有挺身而出，他再次选择了沉默。

客观地说，当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论的几何研究》时，内心是极其矛盾的：一方面，他私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作;另一方面，他又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的认可，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论。他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士;可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献——创立非欧几何避而不谈。

凭着高斯当时在数学界的声望和影响，只要他振臂一呼，公开支持非欧几何，至少会改变学术界一边倒的局面，不让罗巴切夫斯基在冷漠轻慢和苦闷抑郁中走完生命最后一段坎坷的历程。然而，在顽固的保守势力面前，高斯丧失了坚持真理的勇气，仅仅为了自身的利益和地位，选择了沉默和观望。高斯的表现不仅断送了他成为非欧几何创始人的可能，而且客观上也助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击，导致了罗氏几何迟迟不被公认，实际上阻碍了数学的发展。

非欧几何创始人罗巴切夫斯基

俗话说，真金不怕火炼。历史是公允的，非欧几何最终得到了学术界的公认。这是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

虽然高斯、小波约伊和罗巴切夫斯基都是独立发现者，但只有罗巴切夫斯基公开发表了他的研究成果;所以，人们把这种新几何称为“罗氏几何”，罗巴切夫斯基亦被赞誉为“几何学中的哥白尼”。

尽管这是姗姗来迟的肯定，对于历经磨难的罗巴切夫斯基来说，也还算是幸运的。相比较而言，被软弱和沉默所埋没的小波约伊，无疑是令人婉惜的;幸免于难的高斯则是不幸的，因为他给自己留下了永远不能弥补的缺憾。

【责任编辑】赵 菲