数学可以分为三个层面，即知识、能力、意识.代数、几何、微积分学均为数学知识.过去我国提出的数学能力是：基本运算能力、逻辑思维能力和空间想像能力.后来数学教学大纲又提出了分析和解决问题的能力.2000年美国数学教师协会发布的《数学课程标准》中，提出了六种能力：（1）数的运算能力；（2）问题解决能力；（3）逻辑推理能力；（4）数学联结能力；（5）数学交流能力；（6）数学表达能力.数学联结能力是指，把问题的各种要素和其它知识联结起来，使用数学方法寻找解题的策略.

意识是对知识融会贯通后的感悟力.美国教育学家Liliankafz解释意识是“相对稳定的思想意识习惯”.清朝学者袁枚说：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄.”他解释了“知识”、“能力”、“意识”三者的关系，指出了意识是灵魂.实际上，数学意识是用数学的立场、观点和方法处理问题的思维方式，表现为理解数学的价值、欣赏数学的美丽和知道应用数学的门径.20世纪50年代，笔者在中国科学院数学研究所访问进修.记得我们到中国农业科学院了解数学应用情况时，麦作研究室的同志向我们提出了一个问题，为了研究光合作用的影响，需要计算麦苗的面积.印度有个经验公式，即测量麦苗的最长部分a和最宽的部分b，然后用公式a×b1.2求出麦苗的面积，并提出这个公式是否合理.当时因为我们都在学习概率统计，讨论后得出一个办法：采集一部分麦苗，一方面使用求积仪测出它们的面积，另外用上述经……