张 静， 张建基， 卢维娜

（新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054）

双向多尺度函数的逼近阶及计算

张 静， 张建基， 卢维娜

（新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054）

构造同时具有高逼近阶等良好性质的小波是小波分析的核心问题，已有的关于小波逼近阶的许多研究结果是针对单向小波的。最近，杨守志教授提出了双向细分方程与双向小波的概念。然而，目前，针对双向多尺度函数的逼近阶的研究还非常地少。文章首先给出了一种双向多尺度函数的逼近阶的定义，然后又给出了双向多尺度函数的逼近阶的一些成立的条件，最后又给出了双向多尺度函数的逼近阶的计算算法。文章给出的概念和方法还可以做进一步的推广研究。

双向多尺度函数，双向多小波，逼近阶

众所周知，自小波理论诞生以来，小波理论的核心问题是关于小波构造与性质的研究，除了Haar小波外，不存在其他单小波能够同时具备紧支撑性，正交性，对称性等。为了弥补单小波的不足，人们提出了多小波理论，如：GHM多小波，C-L多小波等（见文献［1-10］）。最近杨守志教授提出了双向细分方程与双向小波的概念，讨论了双向加细函数的正交性，逼近阶，正则性等（见文献［11-12］）。双向加细函数是单尺度函数的推广。

小波的构造是小波分析的核心问题，构造同时具有多种良好性质的小波，比如：正交性、对称性、紧支撑性、高逼近阶、插值性等一直是小波分析研究的热点问题。

目前，已有的结果主要是针对单向小波。但是对于双向小波的构造研究还有许多问题需要进一步去研究。特别是，对于双向多尺度函数的逼近阶的研究还非常地少。在本文中，我们首先给出了一种双向多尺度函数的逼近阶的定义，然后又给出了双向多尺度函数的逼近阶的一些成立的条件，最后又给出了双向多尺度函数的逼近阶的计算算法。

1 双向多尺度函数和双向多小波

设Φ（x）=［ϕ1（x），ϕ2（x），...ϕr（x）］T是r重M进制双向多尺度函数，满足下列细分方程：

对（1）两边作Fourier变换得到：

像往常一样，方程（2）中定义的Φ（x）能产生一个（L2（R））r中的多分辨分析 ｛Vj｝j∈Z当且仅当上式定义的 ｛Vj｝j∈Z满足：

（ⅰ）…⊂V-1⊂V0⊂V1⊂…（ⅱ）ClosL2（R）Vj=（L2（R））r

（ⅳ）f（x）∈Vj⇔f（Mx）∈Vj+1

（ⅴ）存在Φ（x）使得集合｛ϕi（x-k），ϕi（n-x）：i=1，2，…，r，k，n∈Z｝是V0的Riesz基。

定义2 设Φ（x）是双向多细分函数，如果它们满足下列条件：

〈Φ（x），Φ（x-k）〉=δ0，kIr，〈Φ（x），Φ（n-x）〉=Or

那么Φ（x）称为一对双正交双向多细分函数。

每一个j∈Z，定义Wj是（4）定义的在Vj+1中Vj的正交补空间，即Vj+1=Vj⊕Wj。

因此对j≠k，Wj⊥Wk并且L2（R）=Wj。如果存在向量函数Ψi（x），i=1，2，…，M-1使得向量函数族 ｛Ψi（x-k），Ψi（k-x），i=1，2，…，M-1，k∈Z｝是W0的正交基，那么Ψi（x）称为Φ（x）的正交双向多小波。

上述两边作Fourier变换，我们有

令

在频域上的面具

（9）式在时域上的细分方程为

2 双向多尺度函数的逼近阶

文章假设P（1）满足条件E：即1是矩阵P（1）的单特征值，P（1）的其他特征值的模都小于1。定义3 称双向多尺度向量函数Φ（x）具有逼近阶p（p⩾1），如果多项式

xj，j=0，1，…，p-1都是Φ（x-k）和Φ（k-x）线性组合，即

下面讨论双向M进制尺度函数在时域上的逼近阶条件。

定义双边无限矩阵L：=（Li，j）=（PMi-j），定义向量函数

其中Φ1（x）如（11）所定义，则LF（Mx）=F（x）

下面给出Φ（x）在时域上逼近阶条件。

即y（j）L=M-jy（j），j=0，1，2，…，p-1

综上所述，我们可以给出双向多尺度函数逼近阶的计算方法如下：

以M=2带双向多尺度函数的逼近阶计算为例：

（1）计算（10）式定义矩阵P（0）的左特征向量u0P（0）=u0

（2）验证u0P（π）=O是否成立，若不成立，则逼近阶为n=0

（3）若步骤（2）成立，取n=1，计算u1=（，），其中u1满足条件（12）

（4）验证条件（13），若（13）不成立，则逼近阶为n

（5）若步骤（4）成立，重置n=n+1，重复步骤（3）（4）（5）直到（13）不成立为止。

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A Study on the Approximation Order of Two-Direction Refinable Functions and its Construction Algorithm

ZHANGJing， ZHANG Jian-Ji， LUWei-na
（College ofMathematical Science，XinJiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The construction ofwave1ets having good properties such as high-order approximation is the core issue ofwave1et ana1ysis.But the existing research resu1ts on the wave1et approximation order is for a one-direction wave1ets.Recent1y，Professor Yang Shouzhiproposed the conceptof two-direction subdivision equation and two-direction wave1ets.However，at present，the research on approximation order of two-directionmu1ti-sca1e function is a1so very sma11.In this paper，first1y，we give the definition of approximation order of two-direction refinab1e functions.Then，we give some sufficient conditions that the two-direction refinab1e functionsmust satisfied on the approximation order properties.And fina11y we gives the ca1cu1ation a1gorithm of on the approximation order of two-direction refinab1e functions.The concepts and methods of this paper can be further promotion of research.

Two-direction refinab1e functions；Two-direction mu1tiwave1ets；Approximation order

O174.2

A

1008-9659（2015）04-042-05

2015-09-15

2014年度我校优秀青年教师科研启动基金资助项目（XJNU201417）。

张 静（1989-），女，新疆乌苏人，硕士研究生，主要从事小波分析及其应用的研究。