袁柳芳++蒋科

1 APOS理论简述

APOS理论是美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展的一种理论，是针对于数学概念学习过程研究的一种建构主义的学习理论，[1]杜宾斯基认为，学生学习数学概念要进行心理建构，这一建构要经历4个阶段：操作阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），取这四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论[2].这种理论不仅指出学生的学习过程是建构，而且表明了建构的层次.

操作阶段（Action）是学生理解概念的一个必要条件，通过操作让学生亲自体验，感受直观背景和概念间的联系.例如，在有现实背景的问题中建立函数关系：y=x2，需要用具体的数字构造对应：2→4；3→9；4→16；5→25；……通过操作，理解函数的意义.

过程阶段（Process）是学生对操作进行思考，经历思维的内化，概括过程，学生在头脑中对活动进行操作和反思，抽象出概念所特有的性质.一般地，有x→x2；其它各种函数也可以概括为一般的对应过程：x→f（x）.

对象阶段（Object）是通过前面的抽象认识到了概念的本质，对其进行压缩并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动.比如函数的加减乘除、复合运算等，在表示式f（x）±g（x）中，函数f（x）和g（x）均作为整体对象出现.

图式阶段（Scheme）的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的