摘 要：现实世界中很多网络都是各个连接间具有不同权值的加权网络，故找到较好的网络加权方式尤为重要。本文针对陈牧提出的确定性复杂网络模型（DCN），采用三种边权重赋予方式分别给DCN模型的边赋值，导出加权DCN模型的节点强度公式，计算分析点权分布规律，得到普遍赋边权方式---边权服从节点度乘积函数，对实际网络的模拟效果较好。

关键词：DCN模型;加权网络;边权;节点强度

近年来，复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段。网络的性能和结构在不断的完善，但与现实的网络相比，它的构造方法和具体表达式显得过于简单，没有考虑网络中各条边的权重以及有向性问题。为了解决以上模型的不足，陈牧在2007年构造了一种同时拥有小世界效应和无标度特性的确定性复杂网络模型（DCN）能更好的模拟现实网络。为了让DCN网络能够很好的应用到实际中去，加权不失为一种有效的方法。因此，本文采用三种边权重赋予方式分别给DCN模型的边赋值，研究其点权分布规律。

一、确定性复杂网络（DCN）模型

确定性复杂网络的构造方法如下，通过n次循环叠代：

1.从n=0开始，即从一个单节点（网络的主节点）出发。

2.当n=1时，在主节点下方对称增加两个叶节点，并使两叶节点与主节点相连。

3.当n=2时，依上述方法，在前面两叶节点的下方分别再对称增加两个新节点，新生成的四个节点都与他们的根节点相连。因此，当n=3时，就生成了4*2=8个新节点。

当进行到n步时，就生成了2n个新节点，每个节点与它的n个根节点相连接，包括一个主根和n-1个次根。依此方法不断的生长下去，就得到了一个确定性的复杂网络（Deterministic Complex Networks），简称DCN。

现实网络往往展现出较小的平均最短距离和大的聚类系数，且度分布满足幂律分布，而这些特点DCN模型都具备，因此DCN模型较之其他网络模型能更好的模拟现实网络。

二、赋权方式及点权分布

加权网络可以用加权邻接矩阵W=（wij）表示，其中i， j=1，2，…N，N为网络的规模，即节点总数。

度是描述网络局部特性的基本参数，网络中任意一个节点i的度ki，指的是与该节点相连的其它节点的数目，也可以指与该节点连接的边数。

度分布表示节点度的概率分布函数P（k），它指的是节点有k条边连接的概率。反映了网络的一个重要宏观统计特征。

在加权网络中， 节点强度或点权si：表示节点i的权重，定义为与节点i相连的所有边的权重之和。

其表达式如下：

（1）

表示所有与节点i相连的节点的集合。

下面以DCN模型为例，采用三种赋权方式构建出加权DCN模型，并分析其点权分布特点。

1.边权为常数

我们定义n=5的DCN模型中具有从属关系的节点间边权重为1，隔一代的节点间边权重为2，隔两代的节点间边权重为3，隔三代的节点间边权重为4，隔四代的节点间边权重为5。

由点权的定义式可以算得各层的节点强度。结果显示，n=5的加权DCN网络的每一个节点的点权都比较大，且随着层数的增加而递减，主节点强度最大，也就是说DCN网络中的每一个节点都比较重要且主节点起着举足轻重的作用。因此从整体上来看边权为常数的加权DCN网络的点权是符合幂律分布的，这与实际的加权网络点权呈幂律分布符合得较好，因此确定性加权复杂网络能更加生动的描述实际网络。

2. 边权服从指数分布

假设在加权复杂网络中边的权重服从指数分布， 即， 其参数为>0，服从指数分布的样本值均大于零，即， 它与实际网络中边权重均大于零的情形一致。

对于服从指数分布边权重的加权网络，节点i的强度分布可看作是ki个相同参数的指数分布的和分布的概率密度函数。

ki个相同参数的指数分布的和分布的概率密度函数为

（2）

其中，，ki是节点i的度

由式（2）可以算得各参数下的加权DCN网络节点强度分布，节点i的强度服从Gamma分布，s～Ga （ki， θ），因此不具备幂律特征。

3. 边权服从节点度乘积函数

设节点i与节点j的度分别为ki和kj ，则连接这2个节点的边权重满足关系式：，a可有效地调节节点的强度大小。由DCN模型的规则性和层次感知同一层任意节点的点权相同，由点权定义式

，表示所有与节点i相连的节点的集合

我们考虑第i层的某个节点m，计算m节点的强度si，即將所有与节点m相连的边的权重求和，分两部分：

1）节点m与1层到i-1层直系亲属节点是直接相连的：

（3）

2）节点m以下i+1层到n+1层所有直接子亲属节点与m是直接相连的：

（4）

第i层任意节点的度，i层节点总数，DCN网络总节点数，因此，加权DCN网络第i层的任意节点m的强度：

（5）

（6）

此时，加权DCN网络的节点强度分布规律如图1所示。

图1 边权为度乘积分布的确定性复杂加权网络点权分布

图1（a）是a=0.5时边权服从度乘积分布的加权DCN网络节点强度分布图。从图中可以看出在双对数坐标轴下四条点权分布曲线当呈明显的线性关系，亦即与s幂律分布的关系符合得非常好。

图1（b）是a=0.02时边权服从度乘积分布的加权DCN网络节点强度分布图，由图中四条曲线的分布可看出点权分布的幂律关系比图1（a）更加明显。

因此，对于边权服从节点度乘积函数的加权DCN网络，其节点强度分布整体上来看是服从幂律分布的，这与实际加权网络是相符的。

前面提到按照节点度乘积的方式给DCN网络赋值时，边权公式中的参数a可根据实际情况取不同的值，从而达到有效调节节点强度大小的目的。我们从边权服从节点度乘积函数的加权DCN网络在不同a下的点权分布规律中可以看到其点权分布在一定范围内均服从幂律分布，a越小，幂律关系越明显;而且当a逐渐变大时该加權DCN网络的节点强度亦迅速增长，从而可以根据实际加权网络的要求设定合适的a值来进行模拟。

可以得到点权与节点度是关联的，且S（k）随着k近似的以幂律形式增长。

因此，我们按节点度乘积方式给DCN网络的边赋值后，获得了确定性加权复杂网络的一些特点：（1）节点强度是服从幂律分布的，且随着参数a的减小，幂律特征越明显;（2）对于给定规模的加权DCN网络，当a逐渐变大时节点强度迅速增长，从而能够设置不同的参数用于模拟不同的实际加权网络，很方便、灵活;（3）点权与节点度是关联的，且S（k）随着k以幂律形式增长，a越小幂律关系越明显，从而可根据实际加权网络的要求设置不同的a值，有效调节网络节点强度的大小以适合于实际网络。

三、结语

本文研究了三种边权重赋予方式下加权DCN模型的点权分布规律。我们发现当边权服从指数分布时，加权DCN网络的节点强度是服从Gamma分布的，不具备幂律特征;而当边权为常数或者服从节点度乘积函数时，加权DCN网络的点权分布均满足幂律关系，这与真实世界的网络符合得较好。另外，从我们研究加权DCN网络的结果可以看出，三种边权赋予方式中，边权服从节点度乘积方式最贴合实际的需要，不仅点权分布P（s）是幂律关系的，而且点权与节点度之间也满足幂律关系，最值得称赞的是该方式中有一个可以根据实际需要有效调节点权大小的参数a，通过改变a的值就能让你的网络更加接近实际网络，从而达到很好的模拟效果。因此，在分析加权DCN网络的其它特征量时均可采用该方式赋边权重。

参考文献：

[1] Watts D.J.， Strogatz S.H.. Collective dynamics of small-world networks. Nature， 1998， 393（6684）： 440-442.

[2] Barabási A.L.， Albert R.. Emergence of scaling in random networks. Science， 1999， 286（5439）： 509-512.

作者简介：鲁芬（1982-），女，汉族，籍贯：湖北武汉人，学历：硕士，单位：武昌工学院信息工程学院，教师，研究方向：物理教育及复杂网络。

备注：*武汉工业学院工商学院校级科研课题（编号：2010KY04）