王祥

（西北大学数学学院，陕西 西安 710127）

高阶变形的N ovikov方程弱解的全局存在性

王祥

（西北大学数学学院，陕西 西安 710127）

研究了一类高阶变形的 Novikov方程全局弱解的存在性，在初值满足条件u0∈H2,p,p>4时，通过黏性逼近的方法得到了高阶变形Novikov方程全局弱解的存在性.

高阶；Novikov方程；全局弱解

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.008

1 引言

2009年，Novikov通过对称的方法在文献［1］中得到了一系列方程，它们可以看作是阶数分别为2，3，5的可积拟线性标量发展方程的反向流.其中，如下立方阶非线性方程

称为Novikov方程.

Novikov方程已有很多研究［1-4］，考虑到实际的物理背景，位势 m有着各种复杂的卷积形式，同时受文献 ［5］的启发，本文对 m作高阶替换.令 m=u−∂u+∂u，对此时的高阶变形的 Novikov方程展开研究.讨论了此时方程的适定性问题，得到了方程弱解 u在C（［0,∞）,C1（R））∩L∞（［0,∞）,H2（R））中的全局存在性.

本文整体框架如下：第二章主要引入基本知识，介绍方程并叙述主要结果；第三章建立黏性逼近方程组得到其解的全局存在性并得到相应的能量估计；第四、五章主要建立核心的一致有界估计，并对原方程组进行逼近，同时得到相应的弱解存在性.

2 预备知识及主要结论

其中G具有Fourier变换形式：

且 G>0,∥G∥W3,1（R）6 C0,∥G∥W3,∞（R）6 C0，C0为给定常数.记 m=A（u）,高阶变形的Novikov方程为：

其等价形式为：

考虑Cauchy问题：

定义2.1 函数u：［0,∞）×R→R，称为问题（3）的弱解，如果u满足条件：（1）u∈C（［0,∞）,C1（R））∩L∞（［0,∞）,H2（R））；

（2）u在分布意义下满足Cauchy问题（3）；

（3）u（0,x）=u0（x），对每一个x∈R成立；

（4）∥u（t,·）∥6∥u0（x）∥H2（R），对每一个t>0成立.

定理2.1 设u0∈H2，p（R）,p>4，Cauchy问题（3）存在全局弱解

进一步有，∀T＞0，H3（R）和H2，p是在方程（3）作用下的不变空间，即

3 黏性逼近：全局存在性和能量估计

应用奇性扰动的方法建立方程（3）的……