☉江苏省海门中学 徐巧石

向量是近代数学中基本和重要的数学概念之一，它沟通了代数、几何和三角，是一种工具性的知识，有着极为丰富的实际背景.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中的图形位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.

对于空间向量的考查，通常是以立体几何为载体，“落脚点”在于应用.应用分两个方面：一是空间图形位置关系的判定，二是角度的度量.本文主要探讨空间向量在立体几何存在性问题中的应用.此类问题通常也称为探索性问题，具有一定的难度，需要学生熟练掌握空间图形的位置关系，通过反复尝试寻找到问题的答案.

一、回归课本，寻根探源

存在性问题在课本中共有五道习题涉及，这为此类问题回归课本找到了依据.

1.（苏教版选修2-1，第119页，13）如图1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）略；

（2）略；

（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.

评注：（3）考查的是两直线夹角的计算，与直接求夹角不同，它是从相反的方向出发，已知两直线的夹角，求满足条件的动点.解这个问题有两个注意点：①设点P的坐标时需要注意动点P在线段AC上，其横、纵坐标相等并且满足0≤x=y≤；②两直线的夹角θ与两直线的方向向量的夹角α之间满足|cosα|=cosθ.

2.（苏教版选修2-1，第115页，15）在如图2所示的坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且PQ=

（1）确定点P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；

（2）略.

评注：（1）同样考查的是两直线夹角的计算，与1（3）的区别是：①两直线的夹角是特殊值直角；……