龚智强　+谢政　+戴丽

摘 要 研究了三方相互威慑讨价还价问题，从合作博弈的角度建立了三方相互威慑讨价还价模型.并且通过对均衡存在性和冲突可能性的分析，给出了三方相互威慑问题冲突发生的条件以及存在均衡状态时的均衡解.最后通过实验验证了本文分析的正确性.

关键词 博弈论；折损因子；讨价还价；相互威慑；Nash均衡

中图分类号 O225 文献标识码 A

A Bargaining Model of Mutual Deterrence

Between Three Players

GONG Zhiqiang，XIE Zheng，DAI Li

（College of Science， National University of Defense Technology， Changsha， Hunan 410073， China）

Abstract In this paper we study the problem of mutual deterrence and build a bargaining model of mutual deterrence between three players through cooperation game and the bargaining model built by Rubinstein. And through the analysis of the credibility of deterrence and the probability of conflict， the conditions which cause the occurrence of the conflict between the players and the equilibrium of the problem if it exists have been given in the paper. Finally， the validity of the analysis is verified by experiment.

Key words game theory； discount factor ； bargaining； mutual deterrence； Nash equilibrium

1 引 言

威慑是指一方采取有效方式影响对方决策，并期望借此影响对方对自身行为预期判断的行为模式.在相互威慑问题中每个局中人既能通过威慑影响其他局中人的决策，又受到其他局中人威慑的影响.已有的研究一般是双方相互威慑的情形，例如冷战时期的美苏核威慑以及延续至今的印巴核威慑.然而随着国际形势的日趋复杂，三方威慑问题逐渐增多.在克里米亚事件中，冲突实际上最终演变为俄中美三个大国之间的博弈，而在该博弈中，美俄都倾向与同中国达到一致以便对另一方施压，中国究竟选择何种策略以便获取更大的利益.而在中日钓鱼岛事件中，牵扯到中国、美国和日本，美国是选择和日本同盟还是选择和中国保持一致，而中国又会选择什么策略.本文将给出一种解决上述三方冲突问题的方法.因此研究三方相互威慑问题对解决这些区域性冲突有着重要的实用价值.

早在20世纪60年代， Thomas Schelling将威慑视为一个讨价还价过程，并把相互威慑讨价还价能力定义为一种能够对对方造成伤害的能力[1].双方讨价还价模型较为简单，Rubinstein对此提出了双方无限期讨价还价模型[3].而在三方相互威慑讨价还价问题中，每个局中人都需要考虑另外两个局中人威慑的影响，如何处理这两者之间的关系将是模型建立的难点.Arsenyan等对于讨价还价中合作发生的条件进行了系统分析[8].Kalandrakis讨论了多数同意的三方讨价还价模型并提出了马尔可夫精炼Nash均衡[9].Calvó-Armengol 从非合作博弈的角度建立了三个局中人地位非对称的三方讨价还价模型[10].

经 济 数 学第 32卷第2期

龚智强等：三方相互威慑讨价还价模型

不同于以往的模型，本文将从合作博弈的角度建立各个局中人地位对称的三方相互威慑讨价还价模型.在本文中，合作博弈是指为了获取更大的利益，其中两个局中人会形成同盟，即成为一个利益集团，两个局中人的威慑叠加对其他局中人的决策产生影响.首先，本文进行了一些准备工作并且建立了三方相互威慑讨价还价模型；然后，分析了三方讨价还价模型均衡的存在性和冲突发生的可能性并对均衡进行了分析；最后，通过仿真算例说明本文建立的三方相互威慑讨价还价模型，并总结全文并提出了有待进一步研究的问题.

2 模型建立

2.1 均衡与分配

局中人是指博弈的参与者.本文的博弈是各个局中人针对某个固定利益的分配，不失一般性我们假定为单位利益的分配.

分配是指各个局中人得到的利益的份额，其中各个分量依次指各局中人的份额，用v表示.均衡是指利益的分配得到了所有局中人一致同意，即每个局中人都不会从拒绝该分配得到更大的利益.

合作博弈是指局中人为了取得更大的利益，以同盟、合作的方式进行博弈，使博弈变为不同利益集团之间的对抗.假定各个局中人都是理性的，即每个局中人都追求自身利益的最大化.

2.2 折损因子的定义

威慑能力是对其他局中人造成伤害的能力，而受慑能力是抵抗其他局中人威慑的能力.折损因子指因为对方的威慑对己方分配造成的损失的系数.威慑能力越大对其他局中人造成伤害的能力越强，即其他局中人的折损因子越小；受慑能力越大，抵抗其他局中人威慑的能力的越强，即己方的折损因子越大.用δab是由于局中人甲的威慑，使局中人乙产生的折损因子；δab，c是由于局中人甲和局中人乙的同盟作为整体对局中人丙的威慑，使局中人丙产生的折损因子.显然折损因子是介于0和1之间的数.

下面给出折损因子的量化计算公式.

定义1 在双方相互威慑讨价还价模型中折损因子计算公式如下：

折损因子=己方受摄能力己方受摄能力+对方威慑能力.

通过上述的量化，将冲突中的威慑转化为对对方的伤害能力，进而通过博弈论建立相应的讨价还价模型.

本文研究完全信息下的讨价还价模型，即已知各个局中人之间的折损因子.

2.3 无限期Rubinstein讨价还价模型

设两个局中人甲和乙通过轮流出价方式分配一项单位利益.

在第一阶段，局中人甲选择v1，即甲欲占有的利益份额.局中人乙如接受v1，则产生分配（v1，1-v1）；否则进入下一阶段.

第二阶段，局中人乙选择v2，即甲占有的利益份额.局中人甲若接受v2，则产生分配（δbav2，δab（1-v2））.如果仍未达到均衡，继续如上轮流出价.

在轮流出价的讨价还价模型中，当局中人事先不能确定期限时，就可按无限期的讨价还价问题处理.Rubinstein在1982年提出如下的无限期讨价还价模型.

引理1 在无限期轮流出价条件下的讨价还价博弈中，唯一的子博弈精炼Nash均衡是甲在1，3，5，7，…阶段出价[11]

v*a=1-δab1-δbaδab，

乙在2，4，6，8，…阶段出价

v*b=δba（1-δab）1-δbaδab，

此处v*a是甲索取的均衡利益份额，v*b是乙索取的均衡利益份额.

2.4 三方相互威慑讨价还价模型

考虑三方相互威慑讨价还价问题.因为三个局中人都是理性的局中人，故在讨价还价过程中各个局中人为了得到更高的利益往往会自发选择暂时的“同盟”.这是因为形成同盟后会使得对于其他局中人的威慑能力更强，进而使得其他局中人的折损因子更小，即其他局中人得到的分配减少从而使得同盟总的分配增加，即同盟的利益增加.

假定局中人甲先出价，局中人乙随后出价，然后局中人丙出价，再轮到局中人甲出价，如上类似Rubinstein模型进行轮流出价，直到达到均衡.

各个局中人之间的威慑模型如图1所示.

图1 三方相互威慑模型图

如图1所示，每个局中人既对其他两个局中人产生威慑，又分别受到其他两个局中人威慑的影响.因为在三方讨价还价中为了得到更大利益，每个局中人都会寻求同盟.本文建立如下的三方相互威慑讨价还价模型：首先某两个局中人为了共同利益形成同盟，同另一个局中人分配利益，然后同盟的两个局中人之间再分配利益.若某个同盟能够形成，则该同盟首先作为一个整体对其他局中人进行威慑以获取更大的利益.例如，如果在三方讨价还价中乙丙自发的形成同盟，则乙丙同盟首先作为一个整体同甲讨价还价，然后乙、丙对同盟得到的份额进行分配.

乙丙同盟对甲的折损因子如下.

定理1 乙丙同盟对局中人甲的折损因子

δbc，a=δcaδbaδca+δba-δbaδca；

局中人甲对乙丙同盟的折损因子

δa，bc=δac+δab-2δabδac1-δabδac.

证明 假定甲、乙、丙的威慑能力分别为xa，xb，xc，受慑能力分别为x′a，x′b，x′c，则

x′ax′a+xc=δca， x′ax′a+xb=δba.（1）

由式（1）可得

xc=（1δca-1）x′a，xb=（1δba-1）x′a.

由定义1知，乙丙同盟对甲的折损因子为

δbc，a=x′ax′a+xc+xb

=x′ax′a+（1δca-1）x′a+（1δba-1）x′a

=δcaδbaδca+δba-δbaδca.

同理得到甲对乙丙同盟的折损因子δa，bc=δac+δab-2δabδac1-δabδac.证毕.

同理，可以求得甲丙同盟或甲乙同盟时相应的折损因子.

由上述方法计算的同盟同另外局中人折损因子的方法，满足同盟对其他局中人的折损因子小于同盟中单个局中人对其的折损因子.故建立的折损因子模型是有效的.

3 均衡的存在性和冲突分析

第2节建立了三方讨价还价模型，本节将对三方讨价还价博弈均衡的存在性和冲突发生的可能性进行分析，首先给出一个引理.

引理2 假定在三方讨价还价模型中，乙、丙已经同盟，则会产生分配：

v*1a=1-δa，bc1-δa，bcδbc，a ，

v*1b=（1-δbc）（δa，bc-δa，bcδbc，a）（1-δbcδcb）（1-δa，bcδbc，a），

v*1c=（δbc-δbcδcb）（δa，bc-δa，bcδbc，a）（1-δbcδcb）（1-δa，bcδbc，a）.

其中δa，bc和δbc，a见定理1，v*1av*1bv*1c分别是在乙丙同盟下各个局中人的分配份额.

证明 由定理1知

δbc，a=δcaδbaδca+δba-δbaδca，

δa，bc=δac+δab-2δabδac1-δabδac.

将乙丙同盟视为一个局中人与甲采用Rubinstein式讨价还价可以得到分配方案：

（v*1a，1-v*1a），其中v*1a=1-δa，bc1-δa，bcδbc，a.

然后考虑局中人乙和丙的分配，对乙、丙按照Rubinstein式讨价还价得到如下分配方案：

（z1（1-v*1a），（1-z1）（1-v*1a）），

其中z1=1-δbc1-δbcδcb.

即甲得到v*1a=1-δa，bc1-δa，bcδbc，a，局中人乙得到v*1b=z1*（1-x），局中人丙得到v*1c=（1-z1）*（1-x）.证毕.

从引理2，可以得到三方讨价还价博弈中乙丙同盟时三方的分配.同理，可以得到甲丙同盟时三方的分配，分别记为v*2a，v*2b，v*2c；甲乙同盟时三方的分配，记为v*3a，v*3b，v*3c.

在三方讨价还价模型中，理性的局中人会选择与得到的分配份额更多的局中人同盟.为此，给出偏向函数的概念.

定义2 定义偏向函数

f1（δab，δba，δac，δca，δbc，δcb）=v*3av*2a，

f2（δab，δba，δac，δca，δbc，δcb）=v*3bv*1b，

f3（δab，δba，δac，δca，δbc，δcb）=v*1cv*2c.

其中v*1av*1bv*1c，v*2av*2bv*2c，v*3av*3bv*3c分别是不同同盟下各个局中人的分配份额.

显然f1决定局中人甲的同盟关系的选择；f2决定局中人乙的同盟关系的选择；f3决定局中人丙的同盟关系的选择.

有了上述引理的准备，下面我们给出三方讨价还价模型均衡的存在性定理.

定理2 上述三方讨价还价模型中，当f1>1且f2>1时，在讨价还价过程中局中人甲和局中人乙会形成同盟；当f2<1且f3>1时，乙和丙会形成同盟；当f1<1且f3<1时，甲和丙会形成同盟.出现上述三种情况时在三方讨价还价博弈中各个局中人能达到均衡状态，此时不会发生冲突.其中各个局中人的分配如上述引理所述.

证明 当f1>1且f2>1时.

v*3a>v*2a， v*3b>v*1b.

因为各个局中人都追求自身利益的最大化，所以局中人甲和乙都会选择与对方合作.局中人丙如果拒绝该分配，则随着讨价还价的进行因为折损因子的存在使得局中人丙得到的份额更少，因此，局中人甲和乙同盟得到的分配方案是三方讨价还价的均衡分配.

同理当f2<1且f3>1时，乙和丙会形成同盟，该分配方案是三方讨价还价的均衡分配；当f1<1且f3<1时，甲和丙会形成同盟，该分配方案是三方讨价还价的均衡分配.证毕.

定理2给出了三方相互威慑讨价还价博弈均衡出现的条件以及均衡出现时的分配.如果博弈出现定理2中的三种情况，理性的局中人之间会自发的形成同盟从而达到均衡状态，冲突不会发生；反之，如果未出现上述三种情况，因为各个局中人之间无法提出让每个局中人都能接受的方案，此时会发生冲突.

4 均衡分析

由第3节可知在三方讨价还价模型中，f1决定局中人甲的同盟关系的选择；f2决定乙的同盟关系的选择；f3决定丙的同盟关系的选择.下面考虑偏向函数与各个局中人之间折损因子的关系，亦即考虑威慑能力的强弱对于同盟关系选择的影响.

定理3给出了各个局中人之间折损因子对局中人甲同盟关系选择的影响.

）；若甲、丙合作则分配方案为（0.610 7， 0.363 2， 0.026 2）；若甲、乙合作则分配方案为（0.493 2， 0.493 2， 0.013 6）.由定理2可知在三方威慑讨价还价中乙、丙会合作.即在两强一弱的三方博弈中弱国偏向与两强中更强者合作.

6 结 论

本文首先针对三方相互威慑问题建立了折损因子与威慑、受慑能力之间关系的有效模型.继而根据不同局中人之间形成同盟的条件给出了在三方讨价还价模型中均衡存在的条件，以及冲突发生的条件.最后通过对偏向函数的分析，给出了折损因子对于三方讨价还价模型中同盟关系选择的影响.

本文对于不完全信息的三方相互威慑问题、离散的讨价还价问题尚未建立有效的模型.同时对于多人的相互威慑讨价还价模型本文也没有做相应研究.这是值得进一步研究的内容.

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