梁林

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000）

曲线的副法线曲面及其性质研究*

梁林

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000）

摘要：通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，讨论了三维欧氏空间中曲线的副法线曲面，给出了副法线曲面的渐近线和曲率线；再由高斯曲率、平均曲率，得到了副法线曲面上常高斯曲率曲线、极小轨迹；最后，利用高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系，得到了副法线曲面的分类定理。

关键词：副法线曲面；高斯曲率；极小轨迹；主曲率

曲面是经典微分几何研究的主要对象，它有许多丰富的性质，而微分几何学家常致力于一些特殊曲面的研究，以期扩宽曲面的知识。文献［1］讨论了三维欧氏空间中特殊曲线的主法线曲面。根据渐近曲线的方程，具体给出主法线曲面的一族非直线的渐近曲线，再根据平均曲率、高斯曲率及主曲率函数，得到曲线的主法线曲面的极小轨迹、常高斯曲率曲线及两个主曲率函数之比为常数的曲线，还给出了曲面上测地线和腰曲线的性质.本文利用类比的研究方法，讨论了三维欧氏空间中曲线的副法线曲面，获得了副法线曲面的渐近线和曲率线、常高斯曲率曲线、极小轨迹以及副法线曲面的分类定理。由于副法线曲面属于可展曲面的范畴，因此对副法线曲面的研究可丰富可展曲面的相关内容。

1.　预备知识

相应地，曲面的第一基本形式、单位法向量、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率和两个主曲率函数分别由（1.2）-（1.7）给出：