周小辉， 王 刚（.浙江财经大学东方学院，浙江嘉兴34408；.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054）

数字1金字塔的研究

周小辉1， 王 刚2
（1.浙江财经大学东方学院，浙江嘉兴314408；2.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054）

根据对一个赛尔金（F.B.selkin）数字金字塔的研究与符号［b］k的引入，首先解决对于任意整数k，［1］k×［1］k＝？的问题，在定理1中给出了解的结构。其结论在定理2与定理3中做了更进一步的推广。最后，考虑在任意整数n，m且m≠n的情形下［1］n×［1］m＝？的问题，并在定理4中讨论了解的结构。

赛尔金金字塔；符号［b］k；任意整数

1 符号解释

1.1 赛尔金金字塔［1，2］

古埃及法老们为了在死后仍然显示其高贵和尊严，驱使千千万万奴隶修建金字塔。然而在数学王国中也有许许多多的“金字塔”。赛尔金（F.B.selkin）发现一个如下的“金字塔”：

1×1＝ 1

11×11＝ 121

111×111＝ 12321

11111×11111＝ 1234321

111111×111111＝ 123454321

1111111×1111111＝12345654321

等号左右2座塔都是对称的。下面将这个金字塔往下继续延伸。直到第九层都是对称的，那么九层往后的情况如何呢？先引入下面符号。

1.2 符号［b］k

表示一个整数是由连续k个数字b组成的。例如［1］4＝1111、［12］3＝121212、［123］3＝123123123。该符号对于加法运算有下列性质：

（1）任意k∈N，n1，n2.…….ni∈｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，则［n1n2…ni］k＝n1［n2…nin1］k－1n2…ni.例如：［12］3＝1［21］22＝121212

（2）任意的k∈N，存在k1，k2∈N，使得k＝k1＋k2，则［n1n2…ni］k＝［n1n2…ni］k1［n1n2…ni］k2.例如：［12］4＝［12］1［12］3＝［12］2［12］2

（3）任意的k及n1，n2，…ni，；m1，m2，…，mi，若nj＋mj≤9，j＝1，2，…，i，则［n1n2…ni］k＋［m1m2…mi］k＝［（n1＋m1）（n2＋m2）…（ni＋mi）］k.例如：［13］3＋［25］3＝［38］3

（4）任意的k1，k2，若k1＞k2，则存在k3，使得k1＝k2＋k3，那么满足3的条件的ni，mi有［n1n2…ni］k1＋［m1m2…mi］k2＝［n1n2…ni］k3［（n1＋m1）（n2＋m2）…（ni＋mi）］k2

例如：［12］5＋［13］3＝［12］2［25］3

注意：（1）［n1n2…ni］k1［m1m2…mi］k2≠［m1m2…mi］k2［n1n2…ni］k1.

例如：［1］2［2］3≠［2］3［1］2

（2）对上述3、4中，当nj＋mj＞9时，按照加法运算法则应当向前位进1.例如：［67］3＋［24］3＝［91］3.若对所有的nj＋mj＞9时，

［n1n2…ni］k＋［m1m2…mi］k＝1［（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni＋mi－9）］k－1（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni＋mi－10）＝1（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni－1＋mi－1－9）［（ni＋mi－9）（n1＋m1－9）…（ni－1＋mi－1－9）］k－1（ni＋mi－10）.

例如：［67］3＋［56］3＝1［24］223

2 数字金字塔的几个定理

现在讨论关于1组成的两数（1的个数不相同时）相乘具有金字塔规律。

结论成立，

同理当r为其他情况时结论也成立。

因此该定理成立。

说明：定理1与定理4从不同的方面讨论了数字1的金字塔规律，但是他们的结论却是相容的，在定理4中若m＝n时就是定理1的情况。