王维维

作业是教学过程中的一个重要环节，它完成的好坏直接关系到学生对知识的掌握情况，关系到教学质量的好坏。同时作业与批改是课堂教学的延续，是学生巩固所学知识、反馈教与学的效果、改进教与学的重要手段，更是激发学生学习兴趣和培养学生良好习惯的重要平台。在我们数学教学中，一部分老师和学生没有对作业的批改及订正引起足够的重视或停流于形式，没有有效的监控措施和操作策略，导致订正效果低效甚至无效。因此细化作业批改，优化作业订正，在作业订正中“生成”智慧，从而发挥它的最大价值是老师必须要认真研究的课题，笔者从作业的诊断、强化、激励示范3个方面的功能进行实践研究。

1.有效发挥数学作业的诊断功能 ， 能加强教学的针对性和实效性

现代系统科学的反馈原理指出：任何系统只有通过反馈信息，才能实现控制。数学教育系统也是如此，诊断方式可从两方面进行研究：

1.1教师批改诊断——析错卡的制作

老师与学生交流和沟通，除了上课学生对相关知识的反馈情况外，我觉得很好的途径是及时批改作业，收集错误信息。老师在作业批改过程中对于错误的步骤位置要明确定位，做好记号，因为定位有利于节省学生作业订正的时间。我们还要通过必要的文字语言给学生以鼓励、建议、督促等点评信息，因为点评有利于学生快速的明白错误的原因。有时间允许的情况下，还可以选择性的面批。教师通过对学生错题的分析，可以充分了解学生原有真实的想法和他们的知识基础与能力水平，可以发现很多学生共通性的典型错误，总结学生答题错误的规律，从而制作出“作业析错卡”。在析错卡中教师将作业错误概括为四大类：表征性错误、知识性错误、思维性错误、习惯性错误，然后对于每大类都结合实际案例进行了深入、细仔地分析。如把思维性错误分为思维品质不佳、消极的思维定势和负迁移效应，再把思维品质不佳又分成思维深刻性、思维的广阔性、思维的灵活性、思维的严密性、思维的批判性进行深入研究。

【案例1】作业析错卡简例

内容：高一等差等比期末复习作业

记录时间：2014年6月13日

题目：设Sn和Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，若对任意n∈N，都有，

则 = 。

错例1： —————错因：数列的项与数列的和混淆不清，属知识性错误。

针对性正解： ，即 ，但 。

错例2： ——————错因：把和与和之比直接当成了和的通项式，忽略了等差数列和为关于n的二次函数，直接拿n是一次式代入，思维性错误。

针对性正解：

因为，

所以=

另解：记 ，

同理 ，

针对拓展：设Sn和Tn分别为两个等差数列和的前n项和，若对任意n∈N，都有 ，

则 = 。

教师通过收集学生的作业错误，分析错误，形成针对正确解析，同时还列举其它解法，且将题目进行相应的变式拓展，形成一张完整的析错卡，长期积累将是一笔不小的教学财富。所以作业批改中错题“生成”智慧第一步是教师的工作，即教师批改诊断，要求教师批改一定要认真详细，肯花时间。教师只有掌握了关于错误的第一手资料，才能对自己的教学进行有效设计，实际教学才能切中要害，事半功倍。

1.2学生自我诊断——纠错本的记载

学生在作业订正之前，脑海中并非一无所知，对题目所需的知识、解题方法已有一定的了解，为此我们需要准确获取作业订正之前的“最近发展区”，来增强作业订正的针对性、有效性。所以作业订正应建立在第一次做题的基础之上，第一次作业有错误，并不是所有的都是错的，错误可能只是一小部分，即使错误面很大，一定也会有可取的地方，有价值的地方，关键在于取其精华。不能孤立的去订正，订正一定要吸取前面的经验教训。

学生拿到作业后首先要查看老师的批改记号与点评，结合老师的点评分析自己所掌握的知识是否正确、完整。如概念的理解是否准确，定理的表述是否规范、公式的记忆是否清楚等，解题方法、技能掌握是否到位。如配方法的要领是什么？分离参数要注意什么？用向量法处理立体几何问题应怎样建坐标系？怎样求点的坐标？怎样设点的坐标等等。然后根据具体情况再次回顾第一次解题的过程，应根据出现的错误，重新审题列出的条件、问题清单，重新评估自己的解题思路、选择的解题方法，再次形成最合理的算法与算理。在订正过程中，学生要认真地总结错误原因，确保以后不再犯同样的错误，所以在订正过程中对错误的原因要进行分析，明确错误之所在，同时对于一些错误的、不完整的知识、方法、技能要进行再次的学习。

【案例2】对“函数的值域与函数值变化范围”的概念混淆不清

题目：函数y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域为[0，+∞]，求m的取值范围.

典型错解：∵函数的值域为[0，+∞]，定义域x∈R

∴y≥0对于x∈R恒成立，

故△=（2m-3）2-8（3-2m）≤0

即（2m-3）（2m-5）≤0 ∴

所以的取值范围为 。

（学生）错因分析：将函数的值域与函数值的变化范围混淆。故辨析下列两题进行比较：

（1）函数y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域为[0，+∞]，求m的取值范围.

（2）函数y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的取值为非负，求m的取值范围.

学生在完成错题自我剖析后，进行作业的书面订正，并能对照以前出现过的相对或相似题进行辨析， 做到真正的自我诊断。日积月累，学生的纠错集中的错题资源就越丰富，这是作业订正中生成“美丽”的第二步。

2.有效发挥数学作业的强化功能，能提高学生的数学思维能力与解题能力

学生的有些错误往往具有顽固性和反复性，因为它们深深抓根于学生丰富的生活经验和习惯系统中。学生经学习理解了一些数学概念和规律，过了一段时间再遇到类似的问题时，受到先入错误的影响又会对该概念产生糊涂的认识。因此，在教学中教师要做好对一些典型的、根系发达的错误的跟踪，对错误类型进行归纳和整理，加强对易错题的作业再布置或强化。

【案例3】找到根源，绝地反击

题目：若正实数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值。

典型错解：∵x+3y=5xy≥2√3xy 即√xy≥

∴3x+3y≥4√3xy ∴（3x+4y）min=

忽略等号成立的条件，更有甚者，不等号成立的条件都可能发生改变。笔者在课堂教学中专门就此题设置了一堂习题课来解决此类问题。首先老师对上题学生的几种做法作了详细讲解：

方法一：变成和为定值，因为x+3y=5xy，所以 =5（x>0，y>0）

（基本不等式）

或者也可用柯西不等式。

方法二：消元，使目标变为一元函数。

设 ，转化成函数之后，再求最值。要求最值采用常见的导数法，当然也可用于基本不等式法，判别式法，给足学生充分的思考时间和做题时间。

【巩固拓展】

1.若正数x，y满足2x+y-3=0，求 的最小值。

2.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的一个动点，若 ，求x+3y的取值范围？

其中，拓展1采用解法一的形式较快可以解出，而拓展2看似和上题没啥联系，但稍加分析：C为弧AB上的动点， 显然x，y∈[0，1]。

两边平方：得x2+xy+y2=1

（此式难用解法一完成，考虑方法二）

消元y，∵x2+xy+y2-1=0，显然△=4-3x2>0

∵x2+xy+y2-1=0，显然△=4-3x2>0

得：

接下来此题适合用导数来求最值，判别式法和基本不等式法较困难。

老师通过一道作业题，根据条件和结论间的关系，多角度联系，全方位探究，就可以得到多种解法，从而将整个最值问题链接起来，训练了学生思维的广阔性、灵活性和深刻性，能提高学生的数学思维能力与解题能力，这是作业订正，生成“智慧”的升华。

3.有效发挥数学作业的示范激励功能， 能提高学生解题的准确性和规范性

在行为科学中所谓激励的含义，主要是指激发人的动机，使人有一般内在的动力，朝所期望的目标前进的心理活动过程。心理学的研究指出，学生学习主要是为了成就而不是为了某种报酬，因此成就动机在学习中有重要的作用。成就动机主要由三方面的需要组成：认知的需要，自我提高的需要，附属的需要。对学生而言，自我需要占据重要地位。作业评价给予学生的表扬、等次，能满足自我提高的需要。批改作业时教师如果只是单纯的错误打叉或给个大大的问号，或只写个“阅”字，会让学生感觉信心倍受打击，尤其是一些复杂难度系数较高的题目，学生花了很长时间思考的，只看结果正确与否而打叉打钩的很有可能引起学生的反感。教师在批改时最好仔细看清学生作业的过程，对正确的步骤给予肯定，错误的作出记号，并根据作业整体情况给出等级评定，或给予个性化的批语，激励他们形成积极向上的学习态势，保持学生的学习欲望和进取心。同时老师将一些优秀的作业展示给学生，这些作业往往字迹清楚，格式规范，步骤清晰准确或有一些独特的见解和想法，能给学生一种很好的示范作用。学生不仅可以参看正确的解题答案，还可以规范自己的作业步骤和格式，或拓宽思维，吸收其它方法思路。同时也可以提高学生的积极性，作业展示也是个人被其他学生和教师肯定的一种途径。

著名教育家叶圣陶曾经说过一句话作为本文的结尾：“什么是教育？简单一句话，就是养成习惯。好的习惯一旦养成，不但学习效率会提高，而且会使他们终身受益。” 学生通过作业订正能认识到数学错题对数学学习的影响，降低做题的重错率，切实提高分析问题、解决问题的能力，对知识、题目真正做到举一反三、融会贯通。教师细化作业的批改，探索作业评价的多样性，摸索出科学有效的数学作业有效订正的方法，搜集、合理地利用学生的错误资源，切实提高数学作业订正的有效性。同时教师收集并研究学生作业的信息，客观评价自己教学的信息，判断自己教学中的薄弱环节。教师根据析错卡，及时调整教学策略，实现自我提升，快速提高自己的教学水平。