徐锋　王春雨　马云周

摘 要：本文针对船体曲面的NURBS表达与设计进行探讨分析。

关键词：船体曲面；NURBS；非均匀

概述：

NURBS是非均匀有理B样条曲线（Non-Uniform Rational B-Splines）的缩写，NURBS由Versprille在其博士学位论文中提出，1991年，国际标准化组织（ISO）颁布的工业产品数据交换标准STEP中，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。1992年，国际标准化组织又将NURBS纳入到规定独立于设备的交互图形编程接口的国际标准PHIGS（程序员层次交互图形系统）中，作为PHIGS Plus的扩充部分。Bezier、有理Bezier、均匀B样条和非均匀B样条都被统一到NURBS中。此理论如今被广泛应用到船舶设计领域中。

一、NURBS曲线与曲面的定义

一条k 次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式函数，其数学定义为：

其中di（i=0，1， ，n）是控制顶点；wi（i=0，1，L，n）称为权或权因子（ weights），分别与di（i=0，1， ，n）相联系；Ni，k（u）是k次B样条基函数，由节点矢量U=（u0，u1，u2，L，un+k+1）按德布尔递推公式决定：

这里di，j（i=0，1，L，m；j=0，1，L，n）是控制顶点，呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格；wi，j是与控制顶点di，j相联系的权因子；Ni，k（u）（i=0，1，L，m）和Nj，1（v）（j=0，1， ，n）分别为u向k次和v向1次的规范B样条基，分别由u向节点矢量U=[u0，u1， ，um+k+1]与v向节点矢量v=[v0，v1， ，vn+1+1]决定。

在大多数工程应用中，k 、l 取为3，可满足产品定义的要求。

二、NURBS曲面的反求

2.1NURBS曲线的反求

2.1.1基本原理

由三次NURBS曲线的齐次坐标表达式：

其中：Di（i=0，1， ，n）为NURBS曲线的带权控制顶点，即Di=[widi wi]；H{}表示中心投影变换，投影中心取为齐次坐标系的原点，即

可知： 一条二维空间中三次NURBS曲线可以看成是三维空间的非有理三次B 样条曲线 在超平面w=1上的投影，因此，若一条三维空间的 k 次非有理B样条曲线依次通过点Qj（j=0，1， ，m），则改曲线在超平面w=1上的投影必通过qj（j=0，1， ，m），其中qj是Qj超平面w=1上的投影。……