薛朝晖

数形结合思想，是研究数学的一种重要的思想方法，巧用平面直角坐标系能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解.

一、 巧用平面直角坐标系于解不等式

例1 解不等式

【评析】 此题直接求解要分x>0，x<0两种情况去求解.学生易把x的取值当成大于零来去分母，原不等式变形为 ，显然结果会求错取值范围.建立平面直角坐标系，设 求得双曲线与直线的交点坐标.利用两个函数图像的高低关系求得不等式的解.

【解】 设 画出函数的图像，如图1，令 ，化为 ， ，得 .从而可得两个图像的交点坐标为（1，3），（-3，-1）.观察图像，应使y1的图像高于y2的图像，当0

二、 直角坐标系用于轴对称中

例2 已知点A（﹣1，2）和B（﹣2，﹣1），试在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，并求出点P的坐标.

【评析】 要求点P的坐标，只要找点A关于y轴的对称点A'，连结A'B交y轴于点P，大部分学生知道方法，但在求解点P坐标时方法太繁，易求错.采用一次函数可快速高效解决问题.

【解】 如图2，作点A关于y轴的对称点A'，连结A'B交y轴于点P，此时PA+PB最小。设直线A'B为y=kx+b（k≠0）.因为点A（﹣1，2）与点A'关于y轴对称，所以A'（1，2），将A'和B的坐标代入解析式，解得k=1，b=1.所以解析式为y=x+1，当x=0时，y=1，所以P（0，1）.

三、 巧用直角坐标系求线段的长

例3 已知正方形的边长为1，（1）如图3（a），可以计算出正方形的对角线长为 ，如图2（b），求两个正方形并列排成的矩形对角线的长，n个呢？（2）若把图2（c）、（d）两图拼成如图4的“L”形，过点C作直线交DE于A，交DF于B，若DB= ，求DA的长度.

【评析】（1）略.（2）对于八年级学生来讲，没有学习相似，难以下手.本题巧妙建立……