楼洪梁,陈磊,李兴林,但召江,陈炳顺

(1.中国计量学院 质量与安全工程学院，杭州 310018；2.杭州轴承试验研究中心有限公司 博士后科研工作站，杭州 310022；3.杭州诚信汽车轴承有限公司，杭州 310024)

随着产品质量不断提高，在轴承等机械产品的可靠性定时截尾试验中，常会出现无失效数据，特别是在高可靠性、小样本试验中，滚动轴承的寿命可以认为近似服从Weibull分布。在寿命试验过程中，如果没有取得失效数据，则使用传统的统计方法，如极大似然法、最佳线性不变估计等，不能对其可靠性进行有效评价。所以，对无失效数据情况下轴承的可靠性估计方法展开研究具有重要的理论意义和实用价值。

文献[1]最先对无失效数据下产品的可靠性展开研究，并取得一定的成果。文献[2-5]利用修正似然函数的思想，给出了无失效数据下参数估计的方法。随后，Bayes方法逐渐成为处理无失效数据的主流方法。文献[6-8]分别取均匀分布、Beta分布和Gamma先验分布对ti时刻的失效概率Pi进行Bayes估计，用加权最小二乘法配布一条Weibull曲线，从而获得分布参数的点估计，最后获得可靠性和寿命的估计。Bayes估计方法中，选取不同的先验分布会对估计结果产生严重影响[9]。文献[10-12]用Beta分布作为失效概率P的先验分布，对该取值作了解释，并讨论了该取值方法对估计结果的影响。文献[13]提出了一种综合估计方法，在k组无失效数据后，再加入一组虚拟的数据，并在其中引进失效信息对无失效数据下的估计进行修正。文献[14-15]将文献[7]中的先验分布由Beta分布改为不完全Beta分布，但没有给出这种改变的理论依据，也没有对估计结果的稳定性进行讨论。

下文在以上研究的基础上，引入虚拟失效信息，结合试验信息，通过Bayes方法得出新的估计结果。

1 无失效数据模型

2 Weibull分布参数与可靠度的估计

获得k组数据后，就可通过加权最小二乘法得出参数m,η的估计。令

yi=lnti,

(1)

由此可得

得到Weibull分布参数后，对寿命和可靠度作出估计

(2)

(3)

3 引入虚拟失效信息的方法

3.1 t1时刻r1的Bayes估计

对于可靠度r1，选择不完全Beta分布作为其先验分布，由于没有失效数据，根据工程实践和专家经验给r1取下限μ(0≤μ<1)，取r1的先验分布为(μ,1)的不完全Beta分布为

(4)

式中：a,b为超参数，a>0,b>0。

由于试验过程中无样本失效，可知r1大的可能性大，小的可能性小，所以π(r1|a,b)为r1的增函数。当a>1,0

从Bayes估计的稳定性来看，参数c的取值不宜过大，一般取(2,8)比较适宜[14]。

r1的先验密度函数π(r1)为

。(5)

由于t1是第1个截尾时间点，故可引入r1的估计无虚拟失效信息，在失效数服从二项分布的情况下，t1时刻的似然函数q(A1|r1) =r1s1(A1为t1时刻有s1个样品未失效事件)。

r1的后验分布为

(6)

其中边缘分布函数

在平方损失函数下r1的Bayes估计为

(7)

3.2 ti(i>1)时刻ri的Bayes估计

第i-1组样品在ti-1时刻未出现失效，但在ti时刻可能出现l个失效，将这一虚拟失效信息和ti时刻无失效数据综合起来对ril做出估计。

假设ni-1个样本在ti时刻的失效个数服从二项分布，则ni-1个样本在ti时刻出现了l个失效的概率P(Bil|ril)(Bil为ti-1时刻的ni-1个无失效样本在ti时刻出现了l个失效事件)为

，(8)

式中：C,D分别为第i-1组样品在ti-1时刻未失效和在ti时刻未失效的事件；P(C),P(D)分别为第i-1组样品在ti-1和ti时刻的可靠度；P(D|C)为第i-1组样品在ti时刻没有失效的概率，显然P(C|D)=1，因此

(9)

由于在试验中每组试验样品都是相互独立的，即引入的虚拟失效信息Bil和ti时刻有si个样品没有失效这2个事件也是相互独立的，所以在ti时刻有si个样品没有失效的概率为P(Ai|ril) =rilsi。引入虚拟失效信息后ril的似然函数q(AiBil|ril)(Ai为ti时刻有si个样品未失效事件)为

q(AiBil|ril)=P(Bil|ril)P(Ai|ril)=

(10)

。(11)

在Bil虚拟失效信息下，ril的先验分布为

(12)

ril的后验分布为

(13)

其中边缘分布函数m(AiBil)为

在平方损失函数下ril的Bayes估计为

(14)

由此可得

(15)

4 案例分析

以6006轴承为例，其寿命服从二参数的Weibull分布，为便于比较，使用文献[6]中的定时截尾试验无失效数据，见表1。表中，si=∑ni,i=1,2,…，6。

表1 无失效数据

由表2可以看出，不同c值下估计结果有一定的波动。由表3可以看出，在不同的c值下，文中方法得到的特征寿命和形状参数估计值波动很小，形状参数最大波动0.160 4，特征寿命最大波动153.6，而方法1与方法2的形状参数与特征寿命最大波动分别为0.618 4，1 447与0.394 9，334.4。

表2 不同c值下参数m,η的估计结果与可靠度

表3 不同方法得到的参数m,η的估计

c=5时用不同方法得到的Weibull分布失效概率密度图如图1所示。由图可以看出，c=5时，文中方法所得到的形状参数与特征寿命均介于另2种方法之间。综上所述，文中方法在超参数c变化时具有更好的稳定性。

图1 c=5时不同方法下失效概率密度图

5 结束语

提出了一种适合于滚动轴承等机械产品在无失效数据条件下，估计其分布参数及可靠度与可靠寿命的方法,即在滚动轴承截尾试验中出现无失效数据时，在每个截尾时间点的可靠度估计过程中,引入前一个截尾时间点的无失效样本的虚拟失效信息。实例分析表明，当超参数c变化时，该方法的估计结果波动最小，具有更好的稳定性与相对准确性。Bayes估计的结论在很大程度上取决于先验分布的选取，文中提出的估计方法还需要在生产实践中进行检验。