李兆飞，任小洪，谭飞，方宁

(1.四川理工学院 自动化与电子信息学院，四川 自贡 643000；2.人工智能四川省重点实验室，四川 自贡 643000)

随着对机械设备振动信号非线性机理的认识逐渐加深，许多国内外学者用混沌法等多种非线性方法对实际振动信号进行混沌特性的判断，取得了大量的理论和成果。通常直接计算实测振动信号的非线性特征量来分析设备的非线性特性，多采用关联维数[1-2]、小波包变换频带盒维数[3]、多重分形特征[4-5]、Lyapunov指数、Kolmogorov熵及相关复杂性测度等方法对振动特性进行研究。然而，一个特征量只能反映振动某方面的特性，而且受信号长度及噪声影响，使用这些特征量的计算结果会有所偏差，导致判断错误。

研究振动分形特性有助于认识球轴承的内在变化规律，并利用这些规律对其进行诊断和监测。因此，研究了球轴承振动信号的非线性分形特性，通过改进Hurst指数和多重分形谱的计算方法，对球轴承不同部位及同一部位不同故障状态实测振动信号的分形特性进行了研究。

1 Hurst指数和多重分形谱的计算方法及改进

分形即某些部分以某种方式与其整体相似的集合，分形集就是在仿射变换下某些部分(互不重叠的子集)与该集本身(统计或严格地)相通的集合[6]。机械设备振动信号的分形特性主要是振动信号自相似性(统计上)，长期记忆性和状态持续性，以及多重分形性(不均匀的自相似性)。

研究振动信号分形特性主要是计算振动信号的分形特征量。在此，对Hurst指数和多重分形谱的计算方法加以改进，用以计算振动信号各状态下的Hurst指数和记忆长度及多重分形谱。

1.1 Hurst指数计算方法的改进

(1)

(2)

取不同的s，可得到不同的(lns,ln(R/S)s)，采用最小二乘法拟合得

ln(R/S)s=Hlns+lnb,

(3)

式中：H为Hurst指数，0≤H≤1；b为常数。

1.2 多重分形谱算法的改进

实际工程振动信号应该只在一定的标度范围内才存在分形特性，且不同的局部条件将得到不同局部特征，即表现出多标度分形，也称多重分形[8]，是对分形结构不规则和不均匀程度的度量[9]。多重分形奇异谱[10]通过描述定义于分形集上的归一化测度(分布)的标度性来表现其奇异特性。测度的奇异性由奇异性强度α和相应的测度密度f(α)来表征，分形奇异谱由f(α)及α的取值范围确定。实际上，一般的集合通常不会得到解析解，故计算多重分形谱较复杂，往往通过数值算法间接估计。

同样，原矩法估计多重分形谱在将信号xn(n=1,2,…,N)分划成长度为ε(ε<1)的一维小盒子，各个盒子的长度为s，N不一定能整除s，信号将有一段剩余,使得计算的结果不够准确。因此，对算法作如下的改进：

(4)

则第i个子集的概率测度为

(5)

定义配分函数为

(6)

质量指数为

(7)

则由τ(q)估计得到广义分维数为

(8)

该分维数随q值不同意义不同。在振动均匀分布时，Dq=1。当q=0时，D0=-τ(0)=D，这表明q=0时，其与物理量的不均匀概率分布p无关，描述对象的空间几何特征，D0称作豪斯道夫维。当q=1时，x1(ε)=∑Pi=1，因此有τ(1)=0，这时D1称为信息维。当q=2时，D2称关联维(其变化表示在数据集中点分布的变化，在特定尺度范围任意选择两点的概率)。

最后，计算α和f(α)的公式不变，由统计物理中的勒让德变换，建立作为描述同一物理对象的3个标度指数α，f(α)和τ(q)之间的联系，即

(9)

通过(9)式测定概率测度，并计算质量指数和配分函数，就可得具有分形结构的多重分形谱指数α与f(α)。该算法虽无法得到分维的准确数值，但可得到奇异强度和对应的分布密度。当N=ms+h且h=0时，即序列所分子集后无剩余时，改进算法与原算法相同。

2 轴承振动信号的采集

试验数据来自Case West Reserve University滚动轴承试验数据库，包含内、外圈和钢球不同转速、不同故障程度的实测振动数据，对这些数据进行试验分析，探索不同故障类型及不同程度故障信号的分形特性。

试验轴承为深沟球轴承6205-2RS JEM SKF，电动机空载，采样频率fs=12 kHz，转速为1 797 r/min，轴承故障由电火花加工机在球轴承内、外圈及钢球上模拟，故障直径分别为0.18，0.36，0.54和0.72 mm(图中对应表示为故障1～4)，故障深度为0.28 mm。正常状态和各故障状态振动信号的时域波形如图1和图2所示。

图1 正常状态振动信号时域波形图

图2 故障状态下内圈振动信号的时域波形

3 试验及分析

3.1 Hurst指数分析

正常和故障状态下振动信号的Hurst指数如图3和图4所示，图中拟合直线的斜率即为Hurst指数(正常时H=0.680 55，故障1时H=0.309 79，故障2时H=0.452 47，故障3时H=0.391 01，故障4时H=0.321 58)，振动信号的Hurst指数在0～1之间。

图3 正常状态Hurst指数的计算

图4 故障状态Hurst指数的计算

如果振动信号具有Brown运动特性，给定一个从-t到0的过去增量Z0-Z-t，与未来增量Zt-Z0的相关系数为

(10)

因E[(Z0-Z-t)(Zt-Z0)]2=E[(Zt-Z-t)]2，代入上式整理有

(11)

则可使用H的大小表征振动信号的统计特性，即：

l)当0

2)当H=0.5时，b(t)=0。表明信号不相关，信号为标准的随机信号，即过去与将来不存在相关性，振动信号为完全独立过程。

3)当0.5

Vs统计量最初用来检验R/S分析的稳定性[7]，经改进后被用来分析序列的记忆长度，其计算式为

(12)

为保证Hurst指数的鲁棒性，在计算大样本数据时，还需去除数据的马尔可夫短期记忆性。结果在数据长度大于10时，马尔可夫短期记忆被成功去除，也可通过Vs统计出非周期循环的精确度量。

Vs由上升转为显著常数或下降的分界点，即为振动长记忆的消失点，相应s就是信号去相关性的时刻。各状态振动信号的Hurst指数和记忆长度的计算结果见表1。

表1 不同状态振动信号的Hurst指数和记忆长度

由表可知，正常状态振动信号的Hurst指数大于0.5，而各故障状态振动信号的Hurst指数均小于0.5，说明正常状态振动信号存在持续的长程相关性，而故障状态振动信号存在反持续性；正常状态的记忆长度比故障状态的大很多，说明正常状态振动的平均影响范围比故障状态大，这是因为正常状态的振动平稳有序，不会产生较大的冲击振动，会影响到较大的范围。Hurst及记忆长度估计了不同状态振动波动的影响范围。

3.2 多重分形性分析

由改进算法计算正常及故障状态下振动信号的多重分形谱，根据前面的分析，尺寸ε取值为2，4，…,10时，取q=-50～50，步长取1，分析绘制轴承不同状态的相关图像，结果如图5和图6所示。

图5 正常状态信号ln xq(ε)-ln ε拟合直线

图6 故障状态信号ln xq(ε)-ln ε拟合直线

从图中可以看出，在q>0或q<0的取值区间上，球轴承不同振动状态配分函数与测量单元尺寸的自然对数均有较好的线性关系对应，也就是符合标度不变性。说明振动的标度分布为多重分形。而利用单一分形或正态分布对其进行刻画是不合理的。

τ(q)与q的关系如图7所示，从图中可以看出，正常状态的线性关系很好，而故障状态时，τ(q)为上凸函数，表明τ(q)与q间为非线性关系，说明轴承故障状态有更强的多重分形特征。

图7 正常状态及各故障状态信号的τ(q)-q关系图

α与q的曲线关系如图8所示，故障状态越强，α与q的非线性越强，且α是q的非线性减函数。因此，当q为极大值时，α为最小值αmin=α(+∞)。由(6)式可知，xq(ε)由Pi(ε)的最大值决定，即αmin反映最大速度。再由ε<1及f(α)与Nα(ε)的正比关系可知，f(αmin)反映最大幅值的出现次数。相应的，αmax反映最小速度，f(αmax)反映最小幅值的出现次数。

图8 q-α曲线

广义分形维数的函数关系如图9所示。从图中可以看出，正常状态时Dq几乎为常数1，表明振动均匀分布；而故障状态时Dq不为常数1，表示振动非均匀分布。当q=0时，所有的广义分维数都是1。随q增大而单调下降曲线为故障状态广义分维数，也存在多重分形特性，广义分维数在常数1周围波动越大则故障越严重，表明故障状态与重分形性存在对应关系。

图9 广义分形维数Dq-q关系图

轴承振动信号的多重分形谱如图10所示，为开口向下的一条抛物线。由重分形谱的分析，多重分形谱宽Δα=αmax-αmin表征了所有分形结构的不规则分布度，描述了振动幅度大小；Δf=fmax-fmin表征了物理量生成子集中元素个数在最小、最大处的比例，同理，可反映振动信号大、小峰值占有的比例。fmax有相同概率的单元数和ε的变化关系则反映了振动大、小峰值的速度变化及所占的比例，可以反映振动的剧烈程度。

图10 多重分形谱f(α)-α关系图

由图10可以看出：不同状态时fmax均为1，这是由于轴承的转速相同，具有相同的变化速率，所有的区域均有分布，即多重分形谱图fmax相同。而多重分形谱中5条曲线的宽度及形状各异，则反映了轴承相异状态的内在动力学特性，不同故障状态间的分形特性和复杂动力学行为及分形特征的差异可由多重分形反映。

不同状态振动信号多重分形谱的Δα和Δf计算结果见表2。Δα越大，故障程度越大。表示在此标度内，较大故障的振动信号有较显著的多重分形特性，说明故障状态下振动分布不均匀性最大，此时振动比较剧烈。正常状态球轴承振动的多重分形性最小，变化波动的奇异性也最弱，说明正常状态下振动比较均匀。且故障程度较强振动重分形谱图呈左钩状，即Δf>0，奇异谱的顶部相对较圆润，振动大多在波峰。表明指数在小幅值的机会比处于大幅值的几率小。

由表2可知，不同故障状态有相应的Δα和Δf，表明振动状态与分形谱参数间有一定的对应关系，不同振动状态拥有不同的分形特性，Δα及Δf不光进行了定性的说明还进行了定量的比较。

表2 不同状态振动信号的Δα和Δf值

另外，对轴承外圈和钢球不同故障状态进行了相同的分析，结果表明：不同故障程度时振动信号的长程相关性及分布的均匀性具有完全相似的结果，正常状态Hurst指数均大于0.5，故障状态Hurst指数均小于0.5，正常状态记忆长度均大于故障状态；振动状态与振动多重分形谱之间存在对应关系，只是多重分形谱宽及振动的大、小峰值的增长速度和所占的比例不同而已。

4 结论

1)研究了滚动轴承振动信号的非线性分形特征，改进了Hurst指数和多重分形谱2种分形特征算法，通过2次分割充分利用了剩余数据。

2)通过Hurst指数研究了滚动轴承振动信号的长程相关性，其正常状态振动信号具有正的持续性，故障状态振动信号具有反持续性。通过记忆长度确定振动的影响范围，故障状态振动信号的影响波动范围要比正常状态振动信号的小。

3)通过多重分形谱分析滚动轴承振动信号的均匀性。振动状态与其多重分形谱之间存在对应关系，即振动的剧烈度由多重分形谱宽Δα刻画，振动大、小峰值的增长速度及所占比例由最大、最小概率子集分维差Δf刻画。正常状态的Δα和Δf最小，故障状态越大，Δα和Δf越大。

另外，有关系统状态对滚动轴承振动多重分形特性内在机理的影响还需要更多的实证研究分析，上述研究结果为下一步利用轴承振动信号分形方法进行故障特征提取、诊断及检测奠定了基础。