闫兴文，任春光，韩肖清，王磊，杨宇，2（.太原理工大学电气与动力工程学院，太原030024；2.山西省电力公司，太原03000）

三相电压型PWM整流器慢时标不稳定现象分析

闫兴文1，任春光1，韩肖清1，王磊1，杨宇1，2
（1.太原理工大学电气与动力工程学院，太原030024；2.山西省电力公司，太原030001）

针对三相电压型脉冲宽度调制PWM（pulse widthmodulation）整流器的慢时标不稳定现象，分析了现有的三相电压型PWM整流器的小信号频域模型，通过建立能精确预测系统稳定边界的时域模型，求取了闭环控制系统状态方程的Jacobian矩阵，依据李雅普诺夫稳定性判定法则对系统稳定性进行判断，并将时域模型与现有小信号频域模型做比较，明确了频域模型的精确适用频率范围，阐述了频域模型只适用于很低的频域的原因，解释了三相电压型PWM整流器的不同于单相变换器的低频振荡现象。仿真结果验证了所建时域模型在判断系统稳定性方面的精确性。

三相；整流器；慢时标不稳定；分岔；时域模型；小信号模型

三相电压型PWM变换器被广泛应用于新能源发输电领域，由于新能源发电的间歇性比较大，便对整流器直流输出电压的稳定性提出了更高的要求。直流电压应保证输出谐波含量少，稳态误差小，动态响应速度快，具有较强的带负载能力。因此，优化设计三相电压PWM整流器的控制策略是必不可少的。目前，双闭环PI调节器控制理论已相当成熟[1-4]，包括电压环、电流环PI参数设计，交流侧电感、直流侧电容的选取和电流超调的抑制等。

这些控制策略的优化设计都是基于状态空间平均的小信号模型。小信号模型是系统在工作点附近的线性化模型，便于使用频域分析方法研究参数变化对模型的影响，可以直观地反映系统的带宽和稳定裕度，因模型简单和物理意义明确等优点被广泛采用[2]。但是，若要精确预测系统的稳定边界，便需要明确小信号模型的适用范围。文献[5]提到单相的小信号模型可以精确到开关频率的一半左右，然而，对三相模型的适用范围目前还未做明确的说明，而若想精确地设计三相电压型PWM整流器的控制系统，这项工作是必不可少的而且是及其重要的。

在现有小信号模型理论基础上，最优设计双环PI参数之后，若对直流侧负载做大幅度变动，系统仍会出现不稳定现象。在负载增大时，系统会呈现慢时标不稳定（slow-scale instability）现象，这种现象最早在文献[6]中被提出，如不加以控制便会发展成catastrophic bifurcation[7-9]；文献[7]主要从功率传输角度分析了三相PWM整流器的这种现象。目前，学者们对单相变换器的快时标不稳定（fastscale instability）和慢时标不稳定现象已做了比较深入的探讨和研究。文献[10-11]分别对降压Buck和升压Boost变换器的振荡和分岔问题作了详细讨论；此外，还有关于功率因数校正PFC（power factor correction）变换器[12-13]、升降压Cuk变换器[14]和H桥直流变换器[15]的不稳定现象的分析。然而，对三相PWM整流器的这种不稳定现象研究的还很少，对振荡频率的解释也不够充分。

本文以三相电压型PWM整流器的慢时标不稳定现象为出发点，建立了系统的时域模型，能精确预测系统的稳定边界，通过改变控制参数，从时域和频域两个角度分析这种不稳定现象，利用状态方程的Jacobian矩阵和由传递函数得到的Bode图，并结合一系列的数值仿真阐述现有小信号模型的适用频率范围，解释了三相PWM整流器和单相变换器不同的振荡现象。

1 三相电压型PWM整流器的慢时标不稳定现象

三相电压型PWM整流器在双环PI控制器下的工作原理如图1所示。

图1 三相电压型PWM整流器工作原理Fig.1 Schematic diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

表1给出了电路的运行参数。即使PI调节器参数在设计合理的情况下，负载电阻由50Ω减小至7.05Ω，直流电压便会呈现低频振荡。

表1 电路运行参数Tab.1 Parametersof the circuit

这种低频振荡现象在不加控制的情况下便会发展成如图2所示的波形1，致使系统彻底崩溃，导致灾难性后果。

图2 PI调节器有无限制的直流电压波形Fig.2 DC voltagewavefor Msw ith or w ithout li Mits in PIregulator

在实际电路中，积分器往往有约束限制，在电压环PI调节器加以限幅而其他参数都未更改的情况下直流电压可以得到有效控制，呈现图2中的波形2。将波形2局部放大可得到如图3（a）所示的振荡幅度达60 V、振荡频率约300 Hz的直流电压波形，这种现象便是前面提到的典型的慢时标不稳定。

图3 整流器的慢时标不稳定现象Fig.3 Slow-scale instability phenomenon of the rectifier

当直流电压低频振荡时观察交流侧电感中的能量变化，可以看到电感中的有功与无功功率同样出现低频振荡，如图3（b）所示，频率与直流电压振荡频率一致，并且有功功率出现过零点，在零点处直流电压波动幅值处于最低点。

2 时域模型和频域模型的稳定性分析

本节基于数学模型在时域和频域两方面对三相电压型PWM整流器的稳定性问题做详细分析，重点介绍时域模型的建立。

2.1 时域模型

由图1所示的功率电路可得到整流器在dq0旋转坐标下的电路状态平均方程，即

式中：〈id〉T和〈iq〉T为状态变量三相电感电流ia、ib、ic在开关周期T内的平均值〈ia〉T、〈ib〉T、〈ic〉T变换到旋转坐标下dq0的d轴和q轴分量；dd和dq为开关函数Sa、Sb和Sc坐标变换后的d轴和q轴占空比。式（1）中前2个公式用于电流内环的控制，第3个式子用于电压外环的控制。

在电压外环控制电路中，直流电压参考值vdcr与实际采样值的差值经PI控制器后作为电流内环d轴电流的参考值idr，如图1中控制电路所示。由此可得电压外环控制电路的状态方程为

式中：kv和分别为电压外环PI控制器的比例系数和积分系数；x1为电压差值的积分值。

在电流内环控制电路中，idr和iqr分别为d轴和q轴电流的参考值，为使得交流输入电压与电流同相位取iqr=0。ki和分别为电流内环PI控制器的比例系数和积分系数，vd和vq为图1中va、vb和vc经坐标变换后的d轴和q轴电压，设x2和x3分别为d轴和q轴电流偏差的积分值，由此可得电流内环控制电路的状态方程，即

以上3个公式中，式（1）为主电路状态方程，式（2）和式（3）为控制电路状态方程。在式（1）和式（3）中存在的关系为

联立式（1）、式（2）和式（3），写成矩阵x˙=Ax+ Bu形式为

式中，状态矩阵A为非线性矩阵。判断系统的稳定性可以根据李雅普诺夫稳定性判别法，对式（5）求取Jacobian矩阵，得到

将表1情况下的平衡点参数带入Jacobian矩阵，求取的特征值实部全部为负，逐渐减小负载电阻值到7.06Ω时特征值实部依然全部为负，电阻值降到7.05Ω时特征值实部出现正值，系统变得不再稳定，这与仿真结果吻合良好。

2.2 频域模型

式（1）经拉普拉斯变换便可转换成频域模型，再经小信号模型线性化和双环PI解耦控制可得到其控制框图，如图4所示。

图4 三相电压型PWM整流器的控制框图Fig.4 Controlblock diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

由控制框图求得电流内环闭环的传递函数为

电压外环开环的传递函数为

将时域模型中的相同参数、负载电阻值7.05 Ω代入式（8）得到三相PWM整流器小信号模型开环Bode图，如图5所示。

图5 电压环开环Bode图Fig.5 Bode diagra Mof voltageopen-loop

由图5可以看到，系统正好处于临界稳定状态。Bode图和上述求解Jacobian矩阵特征值在判断系统稳定性上结果是一致的，但Bode图更加直观地表现了系统的带宽和参数变化对系统稳定性影响的趋势。

3 慢时标不稳定现象与小信号模型精确性分析

3.1 单相与三相慢时标不稳定现象对比

在文献[10]中分析了单相Buck电路的慢时标不稳定现象，系统不稳定后直流电压不是发生跌落而是呈现持续振荡，这是由于电感电流不可为负导致的，变换器交替工作在电流连续和电流断续两种模式之间。

对于三相PWM整流器而言，电感中有功功率和直流输出电压也存在类似的关系，如图3（b）中所示两者呈现完全一致的振荡现象。但是，三相电路中电感流过的有功功率不像单相中的一样，它可以出现负值，功率电路中其他元器件也缺少类似的边界约束，因此系统不稳定后便会走向灾难性的失稳，进而也就可以解释在电压环PI调节器施加限幅后便可以呈现与单相一样的持续振荡现象。灾难性的失稳在实际应用中应该是尽量避免的，然而在功率电路中实现对变量的约束限制是比较困难的，因此，必须在控制电路中对所需处理信号加以限幅。

3.2 小信号模型的精确范围

在第2节中时域模型和小信号频域模型都能比较精确地预测系统的稳定性，但此时系统的带宽仅仅在174 rad/s左右，在更高或更低的带宽下两种模型是否仍然精确有待深入研究。探讨模型能预测系统稳定性的精确范围需要将模型在不同带宽下与仿真模型做比较。改变系统的带宽可以通过改变交流侧电感值、电流环比例系数和电压环比例系数。逐渐改变电压外环PI调节器比例系数kv，3种模型在不同带宽下临界稳定的PI调节器积分系数的变化情况如表2所示。

从时域和频域两个角度与仿真模型做对比，随着kv的增大，3种模型临界稳定时对应的电压环积分系数都在增大，小信号模型对应的系统临界稳定时的带宽也在逐渐提高，在约300 rad/s以内3种模型预测的的稳定边界是相差不大的，超过此带宽后时域模型与仿真模型依然匹配良好，但小信号模型的误差逐渐增大，带宽越高误差越大，预测系统稳定边界的能力逐渐下降。通过一系列的仿真和模型对比，结果表明三相PWM整流器小信号模型精确预测稳定边界只适用于很低的频率，约在300 rad/s以内。但是，在高频域小信号模型与仿真模型参数变化影响的趋势是一致的，只是精确程度远不能达到单相变换器所能精确到开关频率的1/2。造成这种情况的原因主要有2点：①状态空间平均在开关周期内做了平均化处理，忽略了开关周期内的高频影响；②小信号线性化过程中忽略了模型中的高阶分量。

表2 不同带宽下3种模型临界稳定的比较Tab.2 Co Mparison of three kinds criticalstablemodel w ith differentbandw idth

在时域模型中，首先得到的是系统含有开关函数的离散状态方程。为了便于分析对其做了开关周期平均处理，频域模型又在此基础上进行线性化处理。从时域模型与仿真的对比发现开关周期平均对模型的精确性影响并不大，而小信号模型的线性化却导致模型的精确性大大降低。

3.3 小信号模型中惯性延迟环节的作用

小信号模型中加入的惯性延迟环节在仿真电路中实际上不存在，但其对模型的精确性具有矫正的作用。图6中曲线1和2分别为无惯性延迟环节和有惯性延迟环节时kv为0.5的对数频率特性曲线，此时带宽为644 rad/s。曲线1为临界稳定状态，对应的电压环积分系数为790.4；观察曲线2可以发现加上惯性延迟环节后小信号模型早已不稳定，而要达到临界稳定则需调节电压环积分系数下降至550.2。在其他较高带宽下情况相似，因此，可以认为惯性延迟环节等效地增加了系统的阶数，能有效地减小小信号模型在高频段与实际仿真电路的稳定边界误差。

图6 无和有惯性延迟环节时系统的对数频率特性曲线Fig.6 Frequency characteristic curvesof the syste Mw ithoutand w ith inertialdelay

4 结语

本文建立了三相电压型PWM整流器的非线性时域模型，借助状态方程的Jacobian矩阵依据李雅普诺夫判定法则分析了三相PWM整流器的慢时标不稳定现象。并将时域模型、仿真模型和小信号模型做了详细比较，发现时域模型能比较精确地预测系统的稳定边界，与仿真模型误差很小。然而，小信号模型只精确到很低的频率范围，远远低于单相小信号模型的预测能力，这大大出乎意料。导致这种现象的原因是小信号模型线性化过程中忽略的高阶项对三相模型精度的影响远远大于单相模型。因此，在频域模型中的惯性延迟环节在一定程度上能提高模型的精确度。同时，明确了小信号模型的精确范围，便于在设计较高的带宽时考虑加入适当的误差，对小信号模型精确度的提高或新模型的的提出也具有重要的指导意义。另外，对比三相PWM整流和单相Buck电路的慢时标不稳定现象，可以发现持续振荡是由于电路中存在限幅器件。从实际应用角度出发，为避免三相电压型PWM整流器出现重大的电压跌落，限幅器件是必不可少的。

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Analysisof Slow-scale Instability in Three-phase Voltage Source PW MRectifier

YANXingwen1，RENChunguang1，HANXiaoqing1，WANG Lei1，YANGYu1，2
（1.CollegeofElectricaland Power Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China；2.ShanxiElectric Power Corporation，Taiyuan 030001，China）

The slow-scale instability phenomenon of three-phase voltage source PW Mrectifier is studied in this paper. A time-domainmodelwhich can accurately predictsystem's stability boundary isestablished and the Jacobianmatrix of the closed loop control syste Mis calculated.Then the syste Mstability can be judged based on the Lyapunov theorem. Through analysising the rectifier circuit parameters and control parameters'influence on the slow-scale instability，combined with numerical simulation，the different low-frequency oscillation phenomena between three-phase PW Mrectifierand single-phase converter isexplained.Also，the time-domainmodeland the existing small signal frequencydomainmodelof three-phase voltage source PW Mrectifier is compared.Finally，the accurate frequency range ofsmall signalmodel is pointed，and the reason that the small signalmodel is only applicable to the low frequency domain is expounded.

three-phase；rectifier；slow-scale instability；bifurcation；time-domainmodel；smallsignalmodel

TM461

A

1003-8930（2015）07-0018-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.07.04

闫兴文（1988—），男，硕士研究生，研究方向为电力电子与电力传动、微电网电能质量。Email：yanxingwen0702@163. com

2014-01-07；

2014-03-27

国家自然科学基金资助项目（51277127）；山西省高等学校中青年拔尖创新人才支持计划资助项目

任春光（1989—），男，硕士研究生，研究方向为微电网中开关变换器的稳定性分析。Email：renchunguang55@163.com

韩肖清（1964—），女，博士，教授，博士生导师，研究方向为为电力系统运行与控制、新能源发电。Email：hanxiaoqing@ tyut.edu.cn