江伟 刘婵

摘 要：该文采用2014年全国大学生数学建模竞赛B题的数据，在对折叠桌的稳定性、用料等方面做出科学性分析的基础上，建立以用料和桌面重心为优化目标的优化模型Ⅰ，并使用MATLAB编程求解，结果为：最外侧桌腿的长度为73cm，平板的长度为150cm，最外侧桌腿与地面的夹角为66.7°，并使用该模型对问题一中折叠桌进行了优化，验证了优化模型Ⅰ的正确性。另外，设计了一个桌面形状为椭圆形的创意平板折叠桌并使用MATLAB编程求解出最优化加工参数，并使用Solidwokes软件画出了该折叠桌的动态变化图。

关键词：优化模型 最优加工参数 稳固性

中图分类号：TS665 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）02（c）-0045-02

1 优化目标分析

分析折叠桌的重心、桌腿的开槽的长度、桌脚与地面的夹角之间的关系，可发现如下规律。

（1）平板折叠后重心越低，即钢筋的位置越低，稳定性越好。

（2）平板折叠后开槽长度越长，稳定性越好，但用料会增加。

（3）平板折叠后桌脚与地面夹角越大，稳定性越好，但用料增多。

综上所述，可知折叠桌的稳定性和用料不可能同时达到最优，只能根据实际情况设计出最优模型。

2 优化模型的建立与求解

首先先找到平板长度以及第一根桌腿边缘到钢筋的长度（也可以看成是钢筋的高度）的约束条件，不失一般性的情况下，假设桌面厚度为=3，为保证木条根数为整数，故取=2cm。

约束条件①：

由于三角形的斜边大于直角边可以得到如下关系：

（1）

约束条件②：

想要稳固性好，但用料又最省，即最中间木条桌腿的长度等于第一根桌腿从桌面到钢筋的长度，也就是说满足方程组（2）。

（2）

约束条件③：

画出折叠桌第一根桌腿与最中间桌腿的几何投影图如图2。

当桌脚与地面的角度θ与半径固定时，在与垂直情况下距离最短，折叠桌的用材最省，参数满足方程（3）。

（3）

由此可得折叠桌设计加工参数优化模型：

约束目标：

约束条件：

（Ⅰ）

当桌面高度和平板尺寸，木条宽度给定时，可以找到使桌面达到最稳定状态时钢筋的位置，例如，在问题一中，=53cm，平板尺寸为120×50×3，=2.5cm由（2）式可求出≈17.44cm，这时钢筋的位置最低，折叠桌的重心也最低，因而稳固性最好，但相对来说开槽长度是最长的，在第一问中给出的折叠桌从桌腿边缘到钢筋的长度为28.75>17.44，因此稳固性没有达到最优，但开槽长度较短，加工较为方便。

现在我们给定=70cm，=80cm则由式（1）得出平板长度a>138cm，利用MATLAB軟件编程求解优化模型Ⅰ可得：=73cm（最外侧桌腿的长度），=150cm（平板的长度），=66.7°（最外侧桌腿与地面的夹角），也就是说在给定平板宽度和桌面高度时，上述结果为用料相对最省、稳固性最好的折叠桌面设计加工参数最优值。

3 创意折叠桌设计

要根据用户给定指标设计叠桌边缘线形状（如设计成椭圆形等形状），考虑到制作成本、实用性、美观程度和稳定性的因素，设计了一款桌面形状为椭圆形的折叠桌：平板长度为145cm，宽度为50cm，桌面高度为53cm时，使用MATLAB软件编程求解可得椭圆形折叠桌最优加工参数见表1、2、3。

为了连续的观察折叠桌折叠时的变化，使用SolidWorks软件，使用上述设计加工参数数据，可画出该折叠桌的动态变化过程的示意图，见图3。

4 结语

该文根据客户的设计要求，在对折叠桌设计加工参数做优化时综合考虑了用料省和稳固性好这两个因素来建立模型，使用软件编程求解模型的最优参数值，具有很强的实用性和推广性。

参考文献

[1] 汪晓银，周保平.数学建模与数学实验[M].北京：科学出版社，2011.

[2] 刘卫国.MATLAB程序设计教程[M].北京：中国水利水电出版社，2010.

[3] 董辰辉，彭雪峰.MATLAB2008全程指南[M].北京：电子工业出版社，2008.