张利，薛涛，张凤

（枣庄科技职业学院电气工程系，山东滕州277599）

1 引言

随着越来越多的电力装置，如UPS 开关电源、起重机、整流逆变器等大量的投入到办公和工厂中使用，电网的谐波分量也随之增加，其会发生过热、振荡甚至故障等问题。而有源滤波器APF作为补偿谐波的利器，众学者对其的研究也越来越广泛和深入［1-3］。

有源滤波器APF 的原理是控制逆变桥式电路输出一个与负载谐波等值反向的电流，从而使得电源侧的电流趋于正弦波，提高电能质量。而在APF的设计中，对谐波电流高精度的检测是其安全稳定运行的基本保证。而其中大多谐波检测算法是以经典的瞬时无功功率理论为根本，不断地在其基础上进行改进。其中重要的一环为低通滤波器的设计，直接影响到APF的补偿效果和工作性能［4-5］。本文详细推导出了一种新的Butterworth 数字低通滤波器的数学模型，并进行仿真和实验研究，证明了其准确性及可靠性。

2 APF数学模型

对于典型的dq，pq，ip_iq等谐波检测算法，在电网电压稳定无畸变的情况下，它们都可以准确地检测出电路中的谐波。但是对于ip_iq法［6］，当电网电压不对称时，检测出的无功电流有较大偏差；同样pq法［7］在电网电压不对称或是严重畸变时，检测的谐波以及无功电流也会有很大偏差。而对于dq0 旋转坐标下的谐波检测方法［8］，其突出特点是可以在电压含有谐波或是不对称的情况下准确检测。基于此，本文采用dq0 旋转坐标下的谐波检测算法，并在Butterworth 滤波器配合下，更好地提取出基波电流分量。

假设负载侧电流如下式所示：

式中：ilk为第k次各序电流幅值（+表示正序，-表示负序，0表示零序）。

Park变换式为

将式（1）带入Park变换式（2）后得到在dq0坐标下的电流表达形式：

通过式（3）发现，各次谐波电流经过Park 变换后，电流正序分量降低一阶次，电流负序分量则升高一阶次。其原理图如图1所示。

图1 dq0坐标下谐波检测原理图Fig.1 Harmonic detection under dq0 coordinates

图1中，ild，ilq以及il0表示经过Park 坐标变换后的d，q，0 轴分量，其中b 表示基波分量，h 表示谐波分量。

同步旋转坐标轴提取谐波的过程如图1 所示，令三相电网的负载侧经CT（电流传感器）检测到的电流为ila，ilb，ilc，再通过3/2 变换和旋转坐标轴运算后得到电流为ild，ilq，il0。而后将d，q 轴上的信号经过LPF 低通滤波器，可以得到d，q 轴上的直流分量，依据式（3），可以清楚知道这些直流分量对应的是三相坐标轴上的有功电流和无功电流。观察图1，当图1 中多路选择器S 选通时，该APF 系统对电网中存在的无功功率不进行补偿，当图1 中多路选择器S 断开时，APF系统对电网中存在的谐波和无功，一起进行治理和消除。

3 Butterworth低通滤波器

由式（1）～式（3）以及图1可以看出，为了从检测出含有谐波含量的总电流中获得有用的直流电流分量，低通滤波器（LPF）是至关重要的一个环节，其性能会严重影响检测的精确度，进而影响到APF的工作性能。因此，低通滤波器的设计占据系统及其重要的地位［10-11］。

现如今有多种模拟滤波器供我们选择，如切比雪夫滤波器（Chebyshev），贝塞尔滤波器（Bessel），椭圆滤波器（Ellipse），巴特沃斯滤波器（Butterworth）等，研究发现，相比于众多的低通滤波器，Butterworth滤波器更具稳定性和快速性。本文基于此推导出一种新的滤波器，并通过仿真和实验验证了其稳定性和快速性［12-13］。

Butterworth 低通滤波器的幅度平方传递函数||H(jΩ)2用下式表示：

式中：N为低通滤波器的阶数。

当Ω=0时，||H(jΩ)=1；当Ω=Ωc时，||H(jΩ)=Ωc是3 dB的截止频率，当Ω=Ωc附近时，随着Ω的增大，幅度衰减迅速。幅度特性与Ω和N有关，N 取值越大，通频带则越平坦，过渡带和阻带之间衰减的越快速，接近理想的滤波效果。

将S=jΩ代入式（4）中，得到：

令复变量S=δ+jΩ，由式（5）看出幅度平方函数含有2N个极点，极点Sk可以用下式表示：

式中：k=0，1，2，3，…，2N-1。

2N 个极点等角度的分布在以Ωc为半径的圆上，角度间隔为π/N rad。为了使滤波器稳定运行，则从2N个极点中取出N个S平面上左半轴上的点构成H(s)，右半轴上的点则构成H(-s)。则H(s)的表达式为

如果设N=3，则极点个数为2N=6个，它们分别为

我们取S 左半轴上的点分别为S0，S1，S2得到系统的传递函数为

由于CPU处理的都是数字信号，可以通过数值积分将模拟信号数字化，因为任何N阶高阶系统都可以最后化为

且分解后的H1(s)，H2(s)，HN(s)都可以用kN/(s+a)表示。而kN/(s+a)由下式得到：

同时对上式两边进行积分：

式中：T为采样周期。

进而近似等效为

对式（11）进行Z变换：

联立式（8）和式（12）：

将S=δ+jΩ代入式（13）得：

根据上面的理论推导，分析系统的稳定性：

1）当δ ＜0时， ||z ＜1，S 域左边半轴平面投影到Z域时，表示的在其单位圆内，意为其是稳定的系统。

2）当δ=0时， ||z=1，S 域坐标轴恰好投影到Z域单位圆边界上，意为其是临界稳定的系统。

3）当δ ＞0时， ||z ＞1，S 域右边半轴平面投影到Z域时，表示的在其单位圆外，意为其是不稳定的系统。

通过以上分析得S函数如何转化为Z函数，为了更进一步实现DSP 的编程，必须再将Z函数转化为差分方程形式。由自动控制原理可知，数字滤波器一般可以表示成如下的差分方程形式：

Z变换并化简后得：

式中：ak，bk成为滤波系数。

经过以上步骤设计好Butterworth低通滤波器后，即可求出滤波系数，在DSP内编程实现。

4 Matlab仿真

本文在Matlab 中设计一个3 阶Butterworth低通滤波器，采样率是5 kHz，截止频率是30 Hz。利用Matlab 中的Start→Toolboxes→Filter Design得出滤波器的幅频特性和相频特性曲线图，见图2、图3。

图2 Butterworth低通滤波器幅频特性曲线图Fig.2 Amplitude frequency characteristic curve of Butterworth low-pass filter

由图2和图3表示的响应特性曲线图比较可以看出：

1）Butterworth 低通滤波器的幅频特性在截止频率后随着频率的增加而单调减小，但其拥有平坦的通带特性。

2）Butterworth 低通滤波器的相频特性曲线是非线性的，且响应速度较快。

图3 Butterworth低通滤波器相频特性曲线图Fig.3 Phase frequency characteristic curve of Butterworth low-pass filter

5 DSP实验验证

通过前面的理论推导分析，如果要保证该装置的精确性和跟踪可靠性，就需要提高检测的精度，那么就必须要有良好的硬件为支撑。鉴于上面原因，本文实验采用的是DSP+FPGA为控制核心部分。DSP主要是进行电流、电压信号的采集和计算出脉冲占空比，而FPGA 主要是构造三角波发生器和死区延时处理，产生PWM波控制IGBT的导通和关断。

主控芯片采用的是TI 公司研发的数字信号处理器DSP28335。其包含了以前28 系列DSP芯片的优势，能够快速地执行浮点运算，大大节省了代码的执行时间，提高了运行的效率。FPGA 采用的是逻辑单元阵列LCA，内部包含了可编程配置模块CLB，输入与输出模块IOB，和丰富的内部可编程连接线。FPGA 主要利用的LUT 查找表来实现组合逻辑电路，紧接查找表是1 个D 触发器，触发器是用来驱动其它部分电路或连接到IO 口的。 本实验采用的是DSP28335和Xilinx（赛灵思）SPARTAN 3E 100E的FPGA芯片。

本实验采用的是3个Starpower的IGBT模块组成逆变器主电路部分，直流侧用8 个600 V 的EACO 薄膜电容，电容容量为3 760 μF 的电容器组，两两并联，从而完成100 A，380 V的有源滤波器试验样机。

实验得到的负载、电网以及补偿电流波形如图4～图6所示。

由APF的原理可以知道，逆变器输出一个与负载谐波大小相等方向相反的电流，补偿使得电源侧的电流趋于正弦波。结合上面得到的3组电流波形，由图4 和图5 比较可以看出，通过dq0 旋转坐标谐波检测及本文推导出的Butterworth 数字低通滤波器，逆变器可以很好地跟踪给定，基本实现谐波和无功的全补偿，从而使得电网电流的波形如图6所示，基本趋于正弦波。

图4 负载电流Fig.4 Load current

图5 逆变器输出电流Fig.5 The output current of the inverter

图6 电网电流Fig.6 Grid current

6 结论

本文先基于APF模型推导出在dq0旋转坐标下的谐波检测算法，进而得出低通滤波器的重要性，然后详细推导出一种新的Butterworth数字低通滤波器，其可以很好地调节稳态误差与动态响应时间之间的矛盾，仿真和实验研究都证明了此低通滤波器是正确可靠的，动态响应速度快，而且其性能达到了谐波检测高精度和实时性的要求。

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