黄远良， 杨 超， 姜生俊

(华中科技大学 管理学院, 湖北 武汉 430074)



部分信息下有再订购机会的流感疫苗供应链协调模型

黄远良， 杨 超， 姜生俊

(华中科技大学 管理学院, 湖北 武汉 430074)

本文研究了一个产出不确定的供应商与一个社会计划者组成的两级流感疫苗供应链决策问题，其中社会计划者在分散无契约情形时仅知道随机产量的部分信息，而在集中控制情形时知道随机产量的全部信息。供应商在初始供货时由于生产的不确定性而出现短缺，此时供应商将采用紧急生产方式来弥补短缺量，其中紧急生产成本依赖随机产量。文章在分析了分散无契约与集中控制情形后提出用短缺惩罚与成本分享契约来完美协调流感疫苗供应链。最后给出数值算例，并对主要参数进行灵敏度分析。

运筹学；供应链协调；流感疫苗；产出不确定；再订购机会

0 引言

2013年3月中国华东地区出现了新甲型流感病毒H7N9亚型，引起了人们对传染病的恐惧[1]。甲型流感是一种由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，传染性强，发病率高，而且容易引起流行或大流行。甲型流感主要通过含有流感病毒的飞沫进行传播，或者与被流感病毒污染的物品进行接触而传播。预防控制流感蔓延的主要方法就是进行流感疫苗接种[2]。在学术上，对甲型流感进行研究的更多是医学流行病学方面，而从其他方面来研究甲型流感的文献比较少。Longini等首先对亚洲流感与香港流感建立了传染病数学模型，提出了一个接种流感疫苗的最优年龄组方案[3]。而Chick等则首次从运作管理的角度提出了一个流感疫苗供应链协调模型，所提出的成本分享契约可以实现供应链的完美协调，但所提出的模型是基于4个强假设条件，而且还会出现供应商生产剩余而社会计划者处缺货的情况[4]。Mamani等给出了两种流感在国际上传播的方式：星型(从流感源国家单线向周围邻近所有国家传播)和完全型(流感向周围邻近国家传播)，并提出采用补贴契约来协调所有国家[5]。Deo等研究了随机产量下的Cournot竞争模型，结果发现产量不确定是流感疫苗高度集中的原因[6]。Cho研究了随机产量下的流感疫苗最优成分组成问题[7]。Arifoglu等在随机产量下研究存在顾客战略行为时的流感疫苗供应链决策问题[8]。Adida等研究了由一个产出不确定的供应商与一群具有负网络效应的消费者组成的流感疫苗供应链决策问题[9]。Yamin等鉴于大多数发达国家疫苗接种率低提出了多种激励人们接种疫苗的方案，包括对接种人群给予补贴，或者把接种疫苗中心置于商场等人们容易找到的地方，等等[10]。以上文献一般假设流感疫苗生产只有一次，当疫苗不足时顾客选择不接种，然而McQuillan等指出当流感疫苗出现短缺时不仅会严重制约各国的医疗卫生系统及降低民众受保护的能力，而且还可能导致全球的公共卫生问题与经济危机[11]。

由于流感常出现抗原转变与抗原漂移，因而流感疫苗要时常更新其组成成分，即流感疫苗是一种比较特殊的单周期产品[2]。然而流感的生产常受到其他因素的影响，比如细菌的感染或者流感疫苗的研发速度等均使得流感的生产出现不确定。关于生产不确定性的研究，有Gurnani等研究了零件产量不确定下的分散组装系统的协调问题，提出了对具有最差绩效的供应商进行惩罚的协调机制[12]。He等研究单一供应商和单一零售商在随机需求和产量不确定下的风险分享机制问题，引入两个供不应求契约和一个生产过剩契约来分配供应和需求风险[13]。Xu则引入期权契约分配供应和需求风险，结果显示引入期权后供应商和零售商的利润均大幅度提升[14]。赵霞等考虑随机产出和需求扰动服从均匀分布情形下的农产品供应链协调问题[15]。张海燕等考虑了随机产出与广告投入的单周期模型，其中随机产出采用乘积与加和的形式[16]。Li等研究了供应商行为主导者时市场需求分别是恒定与随机情形的双重边际效应供应链协调模型，其中供应商产出不确定[17]。Güler等则研究了供应商作为领导者而零售商作为跟随者的具有产量不确定的供应链协调问题，结果发现回购契约、收入共享契约、数量柔性契约和数量折扣契约均能在自愿服从下协调供应链[18]。Hu等针对随机产量与随机需求的供应链决策问题提出了一个柔性订购策略，并提出采用订购惩罚与回扣契约来协调供应链[19]。

本文在上述文献的基础上研究一个产出不确定的供应商与一个社会计划者组成的两级流感疫苗供应链，供应商在初始供货时由于生产不确定而出现短缺，为了弥补不足量供应商将采用紧急生产方式，其中紧急生产方式的生产成本依赖随机产量。在分散无契约时社会计划者作为主导者仅知道随机产量的部分信息，而在集中控制情形时才知道随机产量的全部信息。文章在分析分散无契约与集中控制情形的模型后提出采用短缺惩罚与成本分享契约来协调流感疫苗供应链。

1 假设与符号说明

考虑由一个供应商与一个社会计划者组成的两级流感疫苗供应链，供应商与社会计划者均为风险中性，社会计划者追求社会成本最小而供应商追求利润最大，为了前后一致本文把供应商利润函数式子改写成净成本的形式。供应商生产流感疫苗的单位成本为c，批发价为w，由于生产的不确定性当计划生产Q时将最终得到Qu单位的可用产品，Q>0，u是(0,∞)上的一个随机变量，其概率密度分函数为g(·)，均值为μ，方差为σ2。注意出现u≥1的情况是操作人员在扫描计算原材料时机器出现故障造成的。社会计划者(政府或者疾控中心)确定流感疫苗覆盖率f使得社会成本最小，全社会的人数为N，每人需要d支疫苗，因此疫苗需求量为fNd，疫苗的储存与管理成本为pa(流感疫苗的储存条件是+2℃至+8℃避光保存和运输，严禁冻结[20])。由于生产的不确定性而出现疫苗短缺，这时将会有部分疫苗延迟供应，延迟所发生的拖后成本为β。在流感季节末未能得到疫苗接种的人群T(f)将会受到感染，因感染所发生的单位成本(包括住院治疗成本)为Cb，其中T(f)=N(1-f)α，α>1，f∈[0,1]，T′(f)<0说明流感季节末感染人数随着疫苗覆盖率的增加而减少，T″(f)>0说明减少的幅度越来越大，这是消费者外部性效应，而且T(f)的函数图像与文献[4]中的图1是拟合的，即随着越来越多人得到接种疫苗，那么未得到接种疫苗而感染的人数就会越来越少。在流感季节末供应商将采用紧急生产方式生产短缺的疫苗(fNd-Qu)+，单位紧急生产成本为L(u)，且紧急生产成本L(u)随着随机产量u的增大而减小。u很小时单位紧急生产成本很大，说明流感季节前的疫苗生产方式不确定性很大即可用疫苗很少，为了确保疫苗需求量fNd，当采用紧急生产方式时其生产成本将很昂贵，反之，当随机产量u很大时其紧急生产成本将不会昂贵。单位紧急生产成本L(u)要大于常规生产成本c，故L(u)>c>0，这里紧急生产成本依赖于随机产量与Kazaz等关于农作物生产的案例吻合[21]。

2 分散无契约情形

首先考虑供应商与社会计划者处于分散无契约下的运作情形，社会计划者与供应商进行的是Stackelberg博弈，他们是两个独立的组织，社会计划者为主导者，供应商为跟随者，在这种情形下供应商知道随机产量的所有信息而社会计划者仅知道随机产量的均值μ与方差σ2。使用逆推法，供应商计划生产Q单位的疫苗，由于生产不确定性最终得到Qu单位的疫苗，为了确保疫苗需求量fNd，不足部分(fNd-Qu)+将采用紧急生产方式，这时供应商净成本为

SF(Q)=E[cQ-wfNd+L(u)(fNd-Qu)+]

(1)

(1)式中第一项为常规生产成本，第二项为批发疫苗收入，第三项为紧急生产成本，供应商在整个流感季节进行两次生产，社会计划者也进行两次采购，总的采购量为fNd。

分散无契约情形下社会计划者追求社会成本(除供应商外)最小，包括因感染所发生的成本(包括住院治疗成本)、疫苗采购与储存管理成本及因延迟供应所发生的拖后成本，数学式子是

GF(f)=E[CbT(f)+wfNd+pafNd+β(fNd-Qu)*]

(2)

在(2)式中T(f)=N(1-f)α,α>1。由于社会计划者不全知道随机产量u的信息，仅知道随机产量u的均值μ和方差σ2，这时将采用最小化最大值方法解决社会计划者问题。最小化最大值方法就是对GF(f)模型寻找“最不利”的概率分布函数F∈Ω，然后最小化GF(f)，即

(3)

这里Ω为均值为μ、方差为σ2的概率分布函数集类，包括F。

引理1 随机产量u的均值为μ和方差为σ2，则

(4)

于是模型(3)等价于最小化

(5)

(6)

证明 (6)式社会计划者成本关于覆盖率的一阶导数为

证毕。

3 集中控制情形

考虑供应商与社会计划者由一个集中决策者来控制与管理，这时集中决策者控制着疫苗的生产与销售，并联合决策生产量与覆盖率使得全社会成本最小，集中决策者的成本为

CF(Q,f)=E[CbT(f)+cQ+pafNd+(β+L(u))(fNd-Qu)+]

(7)

(7)式中第一项为因感染而发生的成本(包括住院治疗成本)，第二项为疫苗生产成本，第三项为疫苗储存管理成本，第四项为因短缺而发生的拖后成本与紧急生产成本。集中决策者知道随机产量u的所有信息。

(8)

(9)

证明 全社会成本(7)式关于生产量Q与覆盖率f一阶、二阶偏导数分别为

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

从而Hessian阵的行列式值

(15)

4 供应链协调

当双方采用短缺惩罚与成本分享契约(w,h,λ,φ,γ)来交易时，供应商的净成本为

SF(Q)=E[λcQ-wfNd+(λL(u)+h)(fNd-Qu)++(1-γ)CbT(f)+(1-φ)(w+pa)fNd]

(16)

社会计划者的成本为

GF(f)=E[γCbT(f)+φ(w+pa)fNd+(β-h+(1-λ)L(u))(fNd-Qu)++(1-λ)cQ]

(17)

证明 供应商净成本(16)式关于生产量Q的一阶导数为

而二阶导数为

(18)

(19)

5 数值算例

表1 感染人数参数α对供应链系统的影响

从表1可知，随着参数α的增大，分散无契约及集中控制情形下的最优生产量、最优覆盖率、供应商利润、社会计划者成本及集中决策者的成本将一直减小，最优覆盖率在集中控制情形下的值比分散无契约情形下的要大，这说明在集中控制情形下有更多的人能够接种疫苗，相应地最优生产量就大，但集中决策者的成本比分散无契约下社会计划者的成本要小。

表2 拖后成本β对供应链系统的影响

表2显示了拖后成本β对供应链系统的影响。随着拖后成本β的增加，分散无契约下社会计划者的成本上升，供应商利润与最优覆盖率减小，相应地，供应商最优生产量也减小。在集中控制情形下，最优覆盖率不变，但集中决策者成本会上升，相应地，最优生产量也会上升。

表3 紧急生产成本参数n对供应链系统的影响

从表1至表3还可知，最优覆盖率在集中控制情形下的值比分散无契约的要大，即疫苗接种覆盖面比较大，相应地，最优生产量也大，但集中决策者成本比分散无契约下社会计划者成本要小，这说明集中决策比分散决策更好。

表4 契约参数λ对供应链系统的影响

表4显示了契约参数λ对供应链系统的影响。当契约参数λ变大，即供应商承担的生产成本增大时，短缺惩罚成本h也随着变大，而社会计划者承担的疫苗采购与储存管理成本及因感染所发生成本的比例变小，从而社会计划者承担的成本变小，又由于整条供应链的成本不变，这样供应商就承担了越来越多的成本，那么供应商就会提高批发价格W。从表4可看出随着参数λ的变大，社会计划者在集中控制情形时节省的成本越来越多，即Δ2越来越大，而供应商节省的成本(Δ1)却一直减小(λ≤0.2情形)，当λ≥0.3时，供应商开始要承担越来越多的社会成本，这对供应商很不利，因此整个社会的总成本如何分配由供应商与社会计划者通过谈判来确定。

6 结论

本文研究了由一个供应商与一个社会计划者组成的两级供应链，供应商的产出存在不确定性，而社会计划者要确定疫苗覆盖率使得社会成本最小，若初始供应未达到社会计划者确定的疫苗数目则供应商就要进行紧急生产以弥补短缺量，其中紧急生产的生产成本依赖随机产量，若随机产量小则紧急生产成本就大，反之紧急生产成本就小。在分散无契约情形时由于信息不畅社会计划者仅知道随机产量的均值与方差，当供应商与社会计划者由集中决策者控制与管理时集中决策者会知道随机产量的所有信息。文章首先分析了分散无契约时社会计划者作为主导者的Stackelberg博弈，接着研究了由一个决策者控制与管理供应商与社会计划者的集中控制情形，最后提出一个能完美协调流感疫苗供应链的短缺惩罚与成本分享契约。研究结果说明感染人数参数对分散无契约及集中控制情形下的供应链影响比较大，而拖后成本对分散无契约及集中控制情形下的供应链影响很小，紧急生产成本参数对分散无契约下的社会计划者成本与集中控制情形下的供应链的影响比较小，并且集中决策比分散决策好。本文可进一步研究多个竞争供应商与一个社会计划者组成供应链的情形。

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Influenza Vaccine Supply Chain Coordination with Reordering Opportunities under Partial Information

HUANG Yuan-liang, YANG Chao, JIANG Sheng-jun

(SchoolofManagement,HuazhongUniversityofScience&Technology,Wuhan430074,China)

A two level influenza vaccine supply chain consisting of a supplier with yield uncertainty and a social planner is studied, in which the social planner know partial information of random yield in decentralized noncontract scenario and know all the information of random yield in centralized control scenario. Owing to shortage in initial supply, the supplier will use the emergency mode of production, which the emergency production cost depends on random yield, to make up for the shortage. After analyzing the model of decentralized noncontract scenario and centralized control scenario, the shortage penalty and cost sharing contract, which can perfect coordinate the influenza vaccine supply chain, is proposed. Finally, the numerical examples and the sensitivity analysis of main parameters are provided.

operations research; supply chain coordination; influenza vaccine; yield uncertainty; reordering opportunities

2013- 10- 20

国家自然科学基金资助项目(71172093,71320107001)

黄远良(1982-)，男，广西贵港人，博士生，研究方向：物流与供应链管理;杨超(1963-)，男，河南新县人，教授(博导)，研究方向：网络优化管理、物流管理;姜生俊(1976-)，女，湖北宜昌人，博士生，研究方向：物流与供应链管理。

F272.3，O22

A

1007-3221(2015)01- 0040- 08