马 军， 董 琼， 杨德礼

(1.沈阳工业大学 管理学院,辽宁 沈阳 110870; 2.纽约州立大学 商学院,纽约州,奥斯威格市 13126; 3.大连理工大学 管理学院,辽宁 大连 110064)



基于风险管理的动态供应链超网络均衡模型

马 军1， 董 琼2， 杨德礼3

(1.沈阳工业大学 管理学院,辽宁 沈阳 110870; 2.纽约州立大学 商学院,纽约州,奥斯威格市 13126; 3.大连理工大学 管理学院,辽宁 大连 110064)

基于风险管理的动态供应链超网络均衡模型的研究有助于供应链超网络节点厂商在动态环境下优化其风险管理，降低风险损失，提升供应链网络在风险管理下的竞争优势。本文以三层供应链超网络为研究对象，采用风险发生概率和损失函数表达供应链超网络中节点厂商中断风险的特征，构建了基于风险管理的动态供应链超网络均衡模型。模型中包括三种类型的节点，产品生产商、零售商和需求市场，生产商考虑风险损失的情况下，基于动态变化的风险、需求和成本追求个体期望效益最优化。接着，通过进化变分不等式来表达动态供应链超网络风险管理下的均衡解，并采用投影动态系统求解进化变分不等式，通过数值算例验证方法的可靠性和合理性，通过投影动态系统解释某一个厂商趋近均衡解的过程。通过单一厂商趋近均衡解的过程，阐述其他厂商相应的最优决策。

超网络；进化变分不等式；投影动态系统；个体优化；全局优化

0 引言

供应链管理理论自从提出以来到现在已经解决了供应链内和供应链间许多实际的问题，但是动态供应链网络的风险管理方面依然存在众多问题。仅近年来众多的灾难和人为风险因素已极大地影响了世界各地供应链网络的正常运行，甚至是供应链网络的中断，相关的节点厂商损失严重。2011年VOA新闻报道[1]，日本大地震与海啸导致日本工厂零部件中断供应，逐步影响到许多国家的电子产品和汽车的生产与供应，级联故障问题影响严重，甚至影响到整个国家经济的发展。美国知名网站(www.businesspundit.com)新闻报道[2]，2010年美国波音787飞机的延期生产，从而波及其供应链网络中众多的零部件供应商，损失严重。2003年北美电力中断致使众多供应网络中企业中断生产，损失惨重。2008年四川地震重创四川磷产品供应链[3]和半导体供应链网络，级联影响到全国相关产业。2010年美国纽约时报报道[4]，日本丰田公司汽车召回事件影响多个国家的汽车零部件供应商，包括日本、美国、中国和韩国等众多的汽车零部件供应厂商。这样的新闻报道极其众多，如此频发的自然灾害和人为风险已经严重影响到我们的日常生活，许多自然灾害风险发生非人为可以避免，但如何减少风险发生给企业带来的损失，如何提升供应链网络在中断风险下的竞争优势，依然是供应链网络中值得研究的问题。

本文的结构如下：第一节在目前供应链超网络研究综述的基础上，对基于风险管理的供应链超网络研究和动态供应链研究进行综述，并指出相关研究的成果和不足；第二节构建了基于风险管理的动态供应链超网络均衡模型；第三节阐述了个体优化和全局优化的相关理论；第四节给出求解进化变分不等式的求解方法-投影动态系统；第五节通过算例阐述模型的可靠性和合理性，通过投影动态系统解释某一个厂商趋近均衡解的过程。通过单一厂商趋近均衡解的过程，阐述其他厂商相应的最优决策；第六节给出结论。本文主要特点是：(1)通过风险发生概率和损失函数来表达动态供应链超网络均衡模型中的风险管理，更加符合动态供应链超网络中风险管理的特征；(2)通过进化变分不等式表示动态供应链超网络中风险、成本和需求的动态变化特征，通过投影动态系统表达某个厂商趋近均衡解的过程，并分析不同风险发生概率下对于供应链网络均衡流量的影响情况，以及单一厂商非最优决策时，其它厂商的相应最优策略。

1 文献综述

超网络的概念最早于1978年由Sheffi[5,6]提出，最开始在其博士论文中称为“Hypernetwork[5]”，后来统称为“Supernetwork[7]”。美国Nagurney和June Dong教授[8]最早针对超网络理论“Supernetwork”进行了系统的理论和应用研究。目前，超网络的研究已经成为一个重要的研究领域，引起了理论界和企业界广泛的关注，美国麻省大学建立了首个超网络研究中心(supernet.isenberg.umass.edu)来研究相关的问题。超网络的研究已经对供应链网络、电力网络、金融网络、交通网络、电信网络和知识网络6个主要领域的理论和应用研究产生了深远的影响。供应链超网络是产品从原材料供应商到顾客的生产和运输过程中组织、人员、活动、信息和其它资源组成的物流、信息、资金等网络构成的一个协调复杂的系统。随着经济全球化进程的加速和信息化技术的发展与普及，如何协调和管理覆盖全球的供应链网络，供应链企业如何在竞争中生存，如何从理论上解释这样一个复杂的系统已成为理论界和实践界普遍广泛关注的问题。这也要求研究者们能提供一个更加准确地和有效地的理论和工具来理解这个复杂的系统，以及对这类问题的解决方法。超网络理论可以为多层、多级、多维、多属性和多准则的网络提供深入的认识和有效的理解。针对于供应链超网络的研究Zhang, Dong与Teng[9]和董琼与马军[10]针对近年来的研究进行了综述。本节在此基础上针对基于风险管理的供应链超网络和动态供应链超网络的研究进行进一步综述。

从2002年Nagurney, Dong, Zhang[11]撰写第一个基本供应链超网络均衡模型的文献以来，众多文献在此基础上把电子商务、库存管理、多目标决策、不确定需求、时间约束等问题整合到该供应链超网络的基本模型中[12～21]。在供应链超网络的风险管理理论研究方面，Dong等[17]把多目标决策引入到具有不确定性需求的供应链网络中，第一次结合多目标决策和不确定性决策提出供应链网络模型；Nagurney等[22]整合供应风险和电子商务模式到文献[17]的模型中，在模型中考虑到供应方生产商和分销商的风险管理，同时测量需求方风险； Nagurney和Matsypura[23]针对全球供应链网络经济考虑到风险性和不确定性提出了一个动态的超网络模型，供应方和市场风险通过以风险函数的形式，再通过多目标决策以加权的方式来表示，需求的不确定性通过使用不确定性需求函数来表达。在动态供应链超网络的研究方面，动态供应链超网络主要是通过进化变分不等式来表达供应链超网络中依时性的能力约束和需求[24]。早在1967年，Lions等[25]和Brezis[26]提出了进化变分不等式用于解决力学上的一些问题，并进行解的存在性和唯一性证明。1998年Daniele等[27]把进化变分不等式用于研究交通网络中满足依时性交通容量和需求的可行性流量问题。Raciti[28,29]运用投影动态系统和进化变分不等式理论解决动态交通网络问题。Daniele和Maugeri[30～32]把进化变分不等式用于解决供应链均衡和金融均衡问题。2003年Gwinner在其著作中[33]对多阶层的进化变分不等式进行了一个详细的综述。

目前关于供应链超网络风险管理的研究多整合多目标决策方法于超网络理论中，有助于解决决策者不同风险偏好下的决策问题，适用性比较广泛，但并没有充分体现供应链节点企业风险管理的特征；另一方面，目前针对准确地表达基于风险管理的供应链超网络动态特性的研究还是空白。关于超网络的进一步研究，June Dong在文献[10]中提出超网络的进一步研究需要把微观运作的问题整合到超网络的模型中来。王众托院士在文献[34,35]中提出超网络的进一步研究需要结合实际网络的运作方法，完善超网络模型，使模型能够更加准确地刻画实际网络的特征。本文基于准确刻画超网络特征的思路和在目前研究的基础上研究基于风险管理的动态供应链超网络均衡模型，以期为供应链网络中的决策者提供应用支持。

图1 基于风险发生概率的三层供应链超网络模型

2 基于风险管理的供应链超网络模型的构建

假设供应链超网络G=[N,L]，代表网络中的节点的集合，L代表网络中产品处理活动有向链接的集合，产品处理活动包括：产品的生产、运输和销售等过程。假设供应链网络中生产厂商生产同质产品。构建如图1所示的基于风险管理的三层动态供应链超网络模型。假设存在m个产品生产商，典型的生产商以j表示。存在h个产品零售商，典型的零售商以l表示，服务于o个需求消费市场，典型的需求市场以k表示，需求函数是弹性的是价格的函数，对于k市场的需求函数用dk表示。产品的生产、运输和销售过程是一个非循环过程。

2.1 生产商的行为和优化条件

假设对于产品生产商和产品零售商之间的中断风险概率ε已知，风险发生后的损失s和产品的流量相关，产品生产商在此基础上需要优化生产量、运输量以及针对各个零售商运输量的比例。

q表示产品生产商生产的产品数量，qj∈R+m。fj表示生产商j的生产成本函数，考虑到厂商之间对原材料购买的竞争关系，生产成本不仅和自身生产的产品相关，而且和其他生产商生产相关。则在t时刻生产商j的生产成本函数为：

fj(t)=fj(qj(t)), ∀j

(1)

产品生产商和产品零售商之间的交易成本包括运输成本和处置成本。包括：资金占用成本和保险费用等。cjl表示交易成本，cjl是交易的产品数量的函数。

cjl(t)=cjl(qjl(t)), ∀j,l

(2)

产品生产商和产品零售商之间中断风险导致生产商的损失函数用rjl表示。中断风险发生的概率为ε。则在t时刻针对产品生产商的期望损失表达式为：

sjl(t)=rjl(qjl(t))×ε, ∀j,l

(3)

(4)

假设生产商之间是完全信息下非合作博弈，生产商的生产函数和成本函数是连续凸函数，每个产品生产商都追求期望收益最大化，则对于每个生产商的优化函数根据进化变分不等式理论知识[8,36～40]可知，可以转换为以下进化变分不等式：

(5)

2.2 零售商的行为和优化条件

(6)

(7)

(8)

假设零售商之间是完全信息下非合作博弈，零售商的成本函数是连续凸函数，同样，每个零售商都追求利润最大化(7)，同时约束于式(8)，根据进化变分不等式理论知识[8, 36～40]可知，则该表达式针对于所有的产品零售商可以转换成以下进化变分不等式：

(9)

2.3 需求市场的均衡条件

(10)

如果形成购买，则销售的价格加上单位产品的边际成本要等于顾客愿意提供的价格，如果价格加上单位产品的边际成本要大于顾客愿意提供的价格，则不形成购买，相应流量为0。

(11)

针对所有消费市场k上，如果形成购买，需求函数等于所有产品流量，否则不形成购买，则均衡条件是：

(12)

因此，根据进化变分不等式理论知识[8, 36～40]可知，式(11)和式(12)可以转换为如下进化变分不等式：

(13)

2.4 供应链网络的均衡条件

在整个网络组织中满足式(5)、式(9)和式(13)之和时，整个动态供应链超网络在产品交易的过程中产品交易的数量、产品交易的价格满足以下变分不等式时，整个网络组织的产品交易过程处于均衡状态。约掉相同的项可得式(14)。

(14)

3 个体优化和全局优化

1952年Wardrop教授通过交通网络的描述[41]阐述了网络中全局优化和个体优化的关系。交通网络个体优化的均衡定律是：每个出行者的出行成本在每个已经使用的路径上是相等的且最小，此时是整个网络个体优化的均衡点。交通网络全局优化的均衡定律是：边际总出行成本在每个已经使用的路径上是相等的且最小，此时是整个网络全局优化的均衡点。交通网络的个体优化和全局优化均衡定律已经扩展到供应链超网络中。在供应链超网络中个体优化均衡点是每个个体厂商在已经使用的连接流量中成本相等并最小；全局优化的均衡点是供应链网络中总的边际成本在每个已经使用的连接流量中是相等并最小。

供应链超网络中个体优化的均衡点其实是非合作博弈中的纳什均衡点。而供应链超网络的全局优化均衡点其实是有一个局外人(例如：行业协会、政府部门等等)进行控制和协调整个供应链超网络的决策。个体优化是代表分散式决策，而全局优化是代表集权式决策。从全球范围内的研究来看，市场机制对于供应链网络的影响越来越重，因此，本论文基于个体优化的基础上构建基于风险管理的供应链超网络均衡模型，这样的模型符合市场机制下供应链网络的实际运作状况，当然全局优化下的供应链超网络模型也是值得研究的，可为全局性的优化和协调提供参考和依据。

4 投影动态系统

进化变分不等式有许多求解方法，包括投影算法、松弛算法、修正投影算法、相继平均法(MSA)、投影动态系统算法等[8,39]，本文采用投影动态系统，因为在动态投影系统中，投影算子表明在约束集中最大化效用决策中最可能的方向[42]，也就是表明决策者最快可能达到均衡点的方向，能够准确形象的表达决策者的决策过程。早在1973年Henry[43]就提出了投影动态系统的思想，尽管没有命名为投影动态系统(Projected Dynamical Systems)。1993年Dupuis和Nagurney[44]通过右边非连续的微分方程来求解一系列动态问题，见表达式(15)，并第一次称为投影动态系统。本节给出投影动态系统一个简单的介绍和定义，以及针对投影动态系统稳定点求解的离散时间算法。

dx(t)/dt=∏κ(x(t),-F(x(t)))

(15)

κ为RN上的闭凸集，F:κ→RN是线性增长的Lipschitz连续函数，Πk:R×κ→RN是投影算子Pκ:RN→κ的Gateaux微分。给定如下：

(16)

在此基础上给出投影动态系统的定义如下。

定义：动态投影系统PDS(F,K)定义为映射x:R×κ→RN，F:κ→RN是Lipschitz连续的矢量域，x0∈κ，其中x(t)是下面微分方程的解。

x(t)=Πκ(x(t),-F(x(t))),x(0)=x0

(17)

Πκ(x(t),-F(x(t)))=0时，则x*∈κ是投影动态系统的均衡点。

Dupuis和Nagurney[44]证明了投影动态系统的关键的特性是标准变分不等式〈F′(x*),(y-x*)〉≥0,∀x∈κ和投影动态系统的问题dx(t)/dt=∏κ(x(t),-F(x(t))),x(0)=x0的均衡解是一致的。也就是说，针对这样类型的问题给定F:κ→RN可以找到x*∈κ满足的〈F′(x*),(y-x*)〉≥0其中y∈κ，〈·,·〉表示定义在RN上的内积。

在计算投影动态系统的稳定点时，常用的方法就是离散时间算法，本文参看文献[45]给出离散时间算法的步骤如下：

步骤1 令X0=0，T=0，αT=1/(T+1)；

步骤2 计算XT+1=P(XT-αT·F(XT))，P为标准投影算子；

步骤3 如果对所有的T，满足max|XT-XT+1|≤ε，其中ε为容许误差，则停止迭代；否则，返回步骤2。

收敛性说明：假设对所有的T，F(XT)为Lipschitz连续，且是严格单调，对于给定足够大常数M，当X≥M时，F(XT)>0，则离散时间算法收敛于唯一的均衡点，详细证明参看文献[45]。

图2 数值算例结构图

5 数值算例

5.1 数据和结果

本节通过一个数值算例来说明本文构建模型的应用情况，以及方法求解的可行性和可靠性。图2给出某类型汽车生产的供应链超网络结构图，两个生产商位于中国的吉林省和上海市，通过位于北京、沈阳和南京的三个零售商把产品销售到华北和华东两个需求市场。

本节采用投影动态系统求解数值算例，由于生产商和零售商的地理位置不同，生产的成本不同，所以不同链接的成本函数不尽相同，各个厂商的成本函数给定如下。

零售商中断风险发生后对产品生产商的损失函数给定如下：

供应链生产厂商的生产成本函数和时间函数给定如下：

生产商和零售商之间的交易成本函数给定如下：

零售商和需求市场之间的成本函数给定如下：

消费市场和零售商之间的交易成本函数给定如下：

需求市场的需求函数给定如下：

d1(t)=-4p1+3p2+200-20t,d2=-4p2+3p1+200-25t

表1给出通过Matlab 7.0软件进行求解，采用投影动态系统给出ε=0.001时，t=0,1,2时刻整个供应链超网络均衡时的运输量和需求价格，以及达到均衡点时的迭代次数。

表1 数值算例的均衡均衡结果

5.2 敏感性分析

假设产品生产商和零售商之间的中断风险发生概率为(ε=0,0.0005,0.0010,0.0015,0.0020,0.0025,0.0030,0.0035,0.0040,0.0045)时，选取产品生产商和产品零售商之间交易量及交易量占总交易量的比例来分析其随风险发生概率变化的敏感性情况。

表2 生产商和零售商之间的运输量和比重随着风险发生概率的变化情况

表2表明随着中断风险发生概率不断增加时，生产商1和零售商1,2,3之间的运输量和运输量占总运输量的变化情况，可以看出生产商1和零售商1之间的运输量占总运输量比例随着中断风险发生概率不断增加而逐步减少，而生产商1和零售商2,3之间的运输量占总运输量比例随着中断风险发生概率不断增加而逐步增加，主要因为尽管生产商1和零售商1之间的交易成本较低，运输量也较大，但是如果中断风险发生概率增加后，损失也就非常大了，所以随着中断风险发生概率不断增加，生产商1调整在不同零售商之间的运输量，使整体收益达到最大。从总体上可以看出，节点间运输量较大的链接，中断风险发生后损失也较大，所以随着中断风险发生概率的增加，相应的运输量逐步减少，从而导致了其它节点间的运输量逐步增加。

图3 时生产商1和零售商1之间的运输量收敛于均衡点的过程

图4 节点间运输量随着生产商1决策的变化情况

5.3 投影动态系统趋近均衡点的过程

采用动态投影系统的优势就是可以通过离散时间算法了解决策者从非均衡状态到均衡状态的过程，均衡状态时的流量对于网络中各个节点厂商的决策具有一定的指导价值。通过市场机制来达到均衡点，均衡点是一个最优的目标，因此达到均衡点的过程对于网络中节点厂商也同样具有一定的指导意义。在动态投影系统中，投影算子表明决策者最快可能达到均衡点的方向，图3描述了在t=0时，生产商1和零售商1上的流量收敛到均衡状态的整个过程。从图上可以看出，在初始X=0时，迭代到13次，生产商1和零售商1上的流量就基本上收敛于均衡点时的最优流量。

5.4 趋近均衡点的博弈过程

均衡解是供应链超网络中各个厂商在长期竞争中达到非合作纳什均衡，是各个厂商不断博弈的结果，在实际过程中很难准确地达到均衡点。在实际动态供应链超网络中各个厂商如何达到均衡解的过程，以及针对其他厂商非最优策略给出相应的对策也同样重要。下面针对以上数值算例分析其中一个厂商给出非最优解时其他厂商的对策情况。

在实际动态供应链超网络中，均衡点是相关厂商多次博弈过程中达到的均衡点，一般很难所有厂商同时都给出最优的策略，这时针对相关厂商的非最优策略如何给出最优策略也是一个值得分析的问题。图4是在中断风险发生概率为ε=0.001，t=0时刻，当生产商1决策供应零售商1的销售量从10到均衡点71.8253的不同决策点上，其它生产商、零售商和需求市场之间应该给出的最优策略情况。图中的标记表明不同厂商之间的流量，例如：前半部分从1-2到2-3表明生产商针对零售商的最优流量情况，后半部分从1-1到3-2表明零售商针对需求市场的最优流量情况。

6 结论

本文首先从个体优化的角度出发，采用风险因素发生概率和损失函数来表达动态供应链中厂商风险管理的特征，在此基础上最优化各个节点厂商的收益；其次，根据进化变分不等式理论把优化函数转化成进化变分不等式，采用投影动态系统进行求解；最后，通过数值算例给出了不同风险因素发生概率下的敏感性分析，通过投影动态系统解释某一个厂商趋近均衡解的过程。通过单一厂商趋近均衡解的不同决策点，阐述其他厂商相应的最优决策。

目前，针对动态供应链超网络的研究时间较短，仍有许多问题和不足需要进一步研究：供应链网络的动态性从哪些特征进行表达；构建符合实际动态供应链网络特征的超网络经济模型，解释相关经济现象；准确的考虑供应链网络中风险管理的手段和方法构建动态供应链超网络模型；动态供应链超网络的鲁棒性测评与分析。

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Dynamic Supply Chain Supernetwork Equilibrium Model Based on Risk Management

MA Jun1, DONG Qing2, YANG De-Li3

(1.ShenyangUniversityofTechnology,ManagementSchool,Shenyang110870,China; 2.StateUniversityofNewYork,BusinessSchool,Oswego,NewYork, 13126; 3.DaLianUniversityofTechnology,ManagementSchool,Dalian110064,China)

The research on supply chain network equilibrium model based on risk management helps the firms in supply chain network optimize their risk management, reduce risk loss and promote the competitive advantage of supply chain network under risk management. First of all, this paper develops a three-layer supply chain network equilibrium model by using probability of risk occurrence and risk loss function to express the characteristics of risk management in supply chain network. This model includes three types of nodes: products manufacturers, products retailers and demand markets. Manufacturers optimize their individual profits based on risk loss, cost and revenue. Then, evolutional variational inequalities are used to express the equilibrium solution of dynamic supply chain supernetwork based on risk management. The projected dynamic system is utilized to solve the evolutional variational inequalities, and a numerical example is used to prove this model is reliable and reasonable. Other manufacturers’ optimized decision making is described when one manufacturer selects a nonoptimized decision. The projected dynamic system is used to illustrate the process of a firm approaching the optimized solution. Sensitivity analysis is compared in this example.

supernetwork; evolution variational inequalities; projected dynamical system; user optimization; system optimization

2012-10-23

国家自然科学基金重大资助项目(70890083)；辽宁省教育厅资助项目(ZJ2014015)；辽宁省沈阳市科技局项目，项目编号(F12-278- 6-22)

马军(1977-)，男，江苏东海人，沈阳工业大学讲师，博士，研究方向：复杂网络、超网络、移动商务。

F406.2

A

1007-3221(2015)01- 0001- 09