方 磊，许银龙，汪 进，王 芳，胡丽琴，1，＊

（1.中国科学技术大学核科学技术学院，安徽合肥 230027；2.中国科学院核能安全技术研究所，中国科学院中子输运理论与辐射安全重点实验室，安徽合肥 230031）

基于因子函数的α－IHS抽样方法

方 磊1，2，许银龙1，2，汪 进2，王 芳2，胡丽琴2，1，＊

（1.中国科学技术大学核科学技术学院，安徽合肥 230027；2.中国科学院核能安全技术研究所，中国科学院中子输运理论与辐射安全重点实验室，安徽合肥 230031）

核电厂概率安全分析中，由于数据源存在不确定性，导致无法进行准确评估，因此需开展不确定性分析。样本在空间分布的均匀特性是不确定性分析的关键因素，不同的样本分布导致不确定分析结果差异较大。传统的拉丁超立方抽样方法在样本空间分布均匀性方面未进行优化，改进分布式超立方抽样（IHS）方法通过保持样本点之间的最优距离来实现空间均匀分布，但其最优距离只能在理想分布下达到最优。为改进IHS设计上的缺陷，提出了基于因子函数的α－IHS方法，利用修正因子α来优化IHS方法中的最优距离。结果表明，该方法较IHS方法具有更均匀的空间分布，提高了抽样效率。

IHS方法；最优距离；因子函数；α－IHS方法

Key words：IHS method；optimal distance；factor function；α－IHS method

概率安全评价（PSA）方法能对系统进行定量安全评估，并为系统优化提供指导。目前PSA方法已在核能、航天、电子等领域得到了广泛应用［1－5］。但在PSA分析中，由于数据源存在不确定性，因而需进行不确定分析。不确定分析主要是分析各种系统单元参数的不确定性对系统的影响，而在整个样本空间上对参数进行均匀的抽样是不确定分析的关键。

目前研究者已提出了多种抽样方法，如常见的蒙卡抽样、LHS（Latin hypercube sampling）以及优化的LHS方法等。蒙卡抽样是一种普遍应用的抽样方法，其实现较方便，对各种复杂系统均有很强的适用性。但该方法需大量抽样，时间消耗大，抽样效率低，不具有无坍塌性（non－collapsing）［6］。在蒙卡抽样的基础上，Mc Kay等［7］提出了LHS抽样方法。采用分层抽样的策略，有效减少蒙卡抽样方法估计的被积函数的误差，并提高了抽样效率［8］。但LHS抽样并未解决样本的空间填充性（spacefilling）［6］。Beachkofski等［9］提出了改进分布式超立方抽样（IHS）方法，利用最优距离的思想，改进LHS在空间分布不均匀的缺陷。但IHS方法在选取最优距离时，从理想的超立方体出发，得到的抽样结果并不是最优的。

本文提出一种基于修正因子的IHS方法，对IHS中设定的最优距离增加一修正因子，使IHS具有更好的空间均匀填充性能。不同系统的需求不同，因而参数个数及样本大小都会存在一定的差异，1个修正因子并不能解决所有的情况。针对大量的抽样数据，分析各种情况下的修正因子，拟合出修正因子函数，设计α－IHS方案，并验证方案的可行性。

1 传统IHS方法

1.1 方法简介

研究者提出了一系列评价标准来反映抽样方法的空间填充性，本文选择广为适用的G（L）作为评价标准［10－12］。G（L）的定义为：

其中：N为样本数；Xi为样本；L为抽样方法，如果G（L1）＜G（L2），则表明L1较L2有更均匀的分布。

图1为简单随机抽样（SRS）、LHS、IHS的比较，其中横轴和纵轴分别表示样本参数的空间，可看到SRS出现坍塌，IHS、LHS没有；IHS的G（L）最小，其抽样效果最好。图1中，M为空间维数。

在IHS方法中，把样本空间看成1个超立方体，由有限个相同的小超立方体组合而成，这样采样点应均匀分布在这些小超立方体中。设超立方体的体积为NM，要抽取N个样本，就要把整个超立方体分成N个小超立方体，而每个小超立方体也是M维的，这样设定的最优距离就是每个小超立方体的边长。在IHS方法中，对样本点间的最小距离作出限制：最小距离须接近于理论上的每个小超立方体之间的最优距离。最优距离计算公式为：

图1 3种抽样方法在N＝50、M＝2下的抽样分布Fig.1 Sampling distribution of three sampling methods at N＝50 and M＝2

具体实现是，每当抽取1个样本时，首先会抽取多个备选点，之后从这些备选点中选取最优的点作为本次抽样的结果，其中选点标准是基于样本点之间的最优距离opt。

常见的输液报警器缺乏对输液滴速的自动控制,比如输液快输完了,需要停止输液,系统自动让滴速控制机械传动装置来让输液器停止输液。滴速调节装置设计图如图4所示,相应的滴速控制机械传动装置实物如图5所示。输液滴速控制的核心部分是通过步进电机的工作来控制的,图6是步进电机经典的控制电路。

1.2 方法不足

在IHS方法中，选定opt即小超立方体的边长作为最优距离。但由于实际采样中无坍塌性要求，样本间的最小距离并不都是opt。

图2说明了具体的情况，假设需要抽取4个样本，每个样本是2维的，每一维都服从均匀分布。按照IHS方法：样本空间首先被分为4等分，样本点即小超立方体中心，这些样本点之间的最小距离即为opt＝2。这样图2a是一种满足要求的最佳分布，但样本有坍塌性。图2b则是实际中能实现的一种较为理想的分布，这时样本点间最小距离为2.236，并不是IHS方案中设定的理论值2。因而可猜测，有较理论值2更合适的opt使样本空间分布更加均匀。

图2 IHS抽样理想（a）和实际（b）条件下的分布Fig.2 Ideal（a）and practical（b）distributions of IHS

2 α－IHS方法

2.1 α因子

假定对于opt，存在一修正因子α，使得：

将opt′作为新的最佳距离，来优化IHS。为验证该优化思想，选择N＝100、M＝10为例，结果列于表1。从表1可看出，当α为1.1～1.5时，G（L）均有所改进，尤其是当α＝1.3时，G（L）出现了最小值，且方差和均值的收敛效果很好，与0～1均匀分布上的均值和方差理论值0.5、1／12逼近。图3示出了改进方法α－IHS的实现流程。

表1 N＝100、M＝10时的因子结果Table 1 Result ofαat N＝100 and M＝10

图3 α－IHS实现流程Fig.3 Implementation process ofα－IHS

修正因子的引入改善了IHS抽样结果。但表1中的因子α＝1.3仅是一个例子，并不适用所有情况下的抽样。进而分析N＝100、M＝20的情况，发现最优α＝1.7。为使修正因子的IHS抽样方法得到普遍的适用，需找出满足所有抽样情况的因子函数指导实际应用。

2.2 α因子函数

通过大量的实验数据分析来拟合因子函数。IHS原方法中参数dup值默认为5。在实验中，N从20～200，依次增加20，M从10～100，依次增加10。为避免偶然性，对于每种抽样情况的G（L），采取30次实验求平均值的策略。表2列出了不同抽样情况下的最优因子α，表3、4分别列出了α＝1和α在最优情况下的部分G（L）值。通过表3、4比较表明，在同样情况下，α－IHS方法的G（L）值得到了很大的改进，尤其是在抽样维数低的情况下，效果特别明显。

表2 不同抽样情况的最优因子αTable 2 Optimal factorαfor different sampling situations

表3 α＝1时IHS方法的G（L）值Table 3 G（L）value of IHS method atα＝1

表4 α最优情况下α－IHS的G（L）值Table 4 G（L）value ofα－IHS method at optimal factorα

表2列出了实验情况下的所有最优因子α，但在实际应用中抽取的样本可能更多。因此，基于表2的结果，需拟合出因子函数。使用Matlab拟合出如下的α因子函数表达式：

图4a示出了M＝10、50、100下最优因子α随N的变化，可看到N对α影响不大；图4b示出了N＝60、120、200下α随M的变化，相对于N，M对α影响更为显著。为进一步确认因子函数的可用性，将用实验结果进行验证。

图4 最优因子α随N（a）和M（b）的变化Fig.4 Optimal factorαvs.N（a）and M（b）

3 实验结果

在PSA软件进行故障树分析［13－15］时，通过基本事件的失效率来分析顶事件的失效率，而基本事件的失效率则是由诸多参数来决定。在对顶事件失效率进行不确定分析时，需对所有参数进行抽样分析。如在中国铅基研究堆CLEAR－Ⅰ的1个子系统中就用到了152个基本事件，39个参数［16－17］。表5列出了实际应用中可能使用到的抽样情况，根据因子函数计算得到的α。表6列出了具体的G（L），可看出，提出的α－IHS方法在实际应用中是可行的，与IHS方法相比，G（L）均有改善，在低维时，改进效果接近10%。其中，修正比

表5 实际应用中根据因子函数计算得到的最优因子αTable 5 Optimal factorαcalculated by factor function in practical application

表6 实际应用中IHS（α＝1）和α－IHS（α最优）在G（L）上的比较Table 6 Comparison of G（L）for IHS andα－IHS in practical application

4 结论

本文通过对IHS方法的研究和分析，针对IHS设计中最优距离的问题进行改进，提出了基于修正因子的α－IHS方法。本文通过提出修正因子来改进IHS方法设计中的缺陷，优化IHS方法中的最优距离，并结合大量实验数据，拟合出了因子函数，最终通过实际系统验证了α－IHS方法相对于IHS方法的优势：在确保样本点均值、方差均具有良好收敛特性的前提下，α－IHS方法使样本点在整个样本空间具有更均匀的分布。

衷心感谢中国科学院核能安全技术研究所FDS团队其他成员的大力支持和帮助。

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α－IHS Sampling Method Based on Factor Function

FANG Lei1，2，XU Yin－long1，2，WANG Jin2，WANG Fang2，HU Li－qin2，1，＊
（1.School of Nuclear Science and Technology，University of Science and Technology of China，Hefei 230027，China；2.Key Laboratory of Neutronics and Radiation Safety，Institute of Nuclear Energy Safety Technology，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China）

In the probabilistic safety assessment of nuclear power plant，as for the uncertainty of data source，it’s essential to launch uncertainty analysis.As a key factor of uncertainty analysis，the distribution of sample space would have a great effect on results of uncertainty analysis.The Latin hypercube sampling method doesn’t make any improvement in space－filling of sample space，the improved distributed hypercube sampling method has improved it by keeping the optimal distance of sample points，but the optimal distance could only be achieved in ideal situation.In order to solve such a problem，α－IHS method based on factor function was put forward to optimize the optimal distance.The results prove that theα－IHS method has advantages over IHS method in a better distribution，and improves sampling efficiency.

TL364

：A

：1000－6931（2015）12－2299－06

10.7538／yzk.2015.49.12.2299

2014－09－21；

：2014－11－01

国际热核聚变实验堆（ITER）计划专项资助（2104GB112000）；中国科学院战略性先导科技专项资助（XDA03040000）；国家自然科学基金资助项目（91026004）；中国科学院科技数据资源整合与共享工程“重点数据库”项目资助（XXH12504－1－09）；中国科学院合肥物质科学研究院青年火花基金资助项目（YZJJ201327）

方 磊（1990—），女，安徽枞阳人，硕士研究生，核能科学与工程专业

＊通信作者：胡丽琴，E－mail：liqin.hu＠fds.org.cn