李儒颂,刘敬楷,王甫涵,孙继远,叶文江

(河北工业大学,天津 300401)

金属丝杨氏模量的RLC串联交流谐振测法研究

李儒颂,刘敬楷,王甫涵,孙继远,叶文江

(河北工业大学,天津 300401)

利用RLC串联谐振电路可以高精度测量电感的原理,将其用于测量金属丝的杨氏模量。将磁棒固定在待测金属丝上,其一部分放在螺线管内部,并用自制的密绕长螺线管代替RLC串联谐振电路中的电感。外力作用下金属丝的伸长会引起螺线管内磁棒的长度的变化,从而引起螺线管电感的改变。因此可以通过测量螺线管的电感的变化实现金属丝细小伸长量的测量。该方法简单易行,测量精确度高,具有一定的实用价值和良好的应用前景。

RLC串联交流谐振电路;电感;杨氏模量;螺线管

杨氏模量是描述金属材料抵抗外力时产生拉伸(或压缩)形变能力的物理量,是工程技术中的常用参数,也是选定机械构件材料的重要依据。而且,大学物理实验课程中将此测量作为重要实验内容,杨氏模量的测定对研究金属、半导体、纳米、聚合物等材料的力学性质有着重要意义,还可应用于生物力学等领域。因此,随着科学技术的飞速发展,对材料的杨氏模量准确方便地测量具有重要的研究意义和工程应用价值。在传统测量中主要是利用光杠杆[1]的放大原理,但这种方法存在实验条件难以保证、仪器难以调节、实验精度较低等缺点。目前,测量杨氏模量的方法很多,有迈克尔逊干涉法[2],光的衍射法[3-5],振动法[6-7],超声波法[8]等方法。其中,共振法比较成熟,而且应用非常广泛,被公认为国家测量标准,其缺点是难以找到其共振频率[9];而超声波法因其具有无损、应用范围广和实验操作简单等优势,而逐渐被公认为主流的测量方法。为了拓宽现行大学物理实验中对杨氏模量的测量方法,本文根据RLC串联交流谐振可测量微小电感的原理,将RLC串联交流谐振的高灵敏度特性与长度的微小变化量Δl相联系,利用RLC串联交流谐振的方法精确地测量出金属丝的杨氏模量。

该测量方法具体是将RLC串联交流谐振电路的电感替换成自制的密绕长螺线管,将待测金属丝穿过磁棒,并用夹子将磁棒固定在金属丝适当位置,并保持磁棒在螺线管中下部位置,且将螺线管竖直放置。当金属受外力时,金属丝会产生细微伸长,进而带动磁棒在长螺线管内伸长,于是把金属丝长度的变化通过电感的变化表示出来。该种测量方法综合了力学和电学相关知识,使实验更具有探究意义。

1 实验测量原理

1.1 RLC串联交流谐振测电感的原理

下图是RLC串联交流谐振的原理图:

图1 RLC串联交流电路

若交流信号源是输出电压幅值一定、频率连续可调的正弦交流信号,则电路中的电流将会随着频率变化而变化。当电流达到最大时,电路将发生谐振,此时的频率称为谐振频率。

电路的总阻抗是

其中:ZL是电感的阻抗,ZC是电容的阻抗,ω是交流电压的角频率。回路中的电流是

信号源与电流之间的相位差是

由(2)式可知,当感抗与容抗相等时,电路的总阻抗为最小值R,此时回路中的电流最大,而相位差将为0,电路呈电阻性,即此时电路发生谐振。以表示电路发生谐振时的角频率,故有如下关系

由此可见,若已知RLC串联交流谐振中的电容值,只要通过实验测得谐振频率f0,就可以得出方程(4)中的电感值。

1.2 金属丝杨氏模量公式推导

物体受力后发生形变,在弹性限度内,条形物体(如金属丝)沿纵向的弹性模量称为杨氏模量。一条长度为l、截面积为S0的金属丝在外加拉力F作用下伸长Δl。F/S0叫应力,其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力;Δl/l叫应变,其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。在弹性范围内,由胡克定律可知,物体的应力与应变成正比,应力与应变的比叫弹性模量,即

其中比例系数Y称为杨氏模量,由(5)式可推出Y的表达式为

它是与物体的形状,外力等无关的材料参数,只表征材料本身的性质。

(7)式为测量杨氏模量的原理公式。

本实验测量杨氏模量的主要问题是怎样测准长度的微小变化量Δl。

如图2所示,在自制长螺线管中间插有一根磁棒,当磁棒在螺线管内长度发生改变时,会引起螺线管本身电感量的变化。电感的变化量与长度的变化量有如下关系[10]:

图2 磁棒和长螺线管示意图

(8)式中:μ0为真空中的磁导率,n0为螺线管线圈匝数,μr为相对磁导率,S为磁棒的截面积,Δl为金属丝长度的微小变化量,为电感的变化量。在上式中我们可以用RLC串联交流谐振法测出ΔL,由于真空中的磁导率、螺线管匝数、相对磁导率、磁棒截面积这四个物理量均为常数,故电感的变化量与长度的变化量呈线性关系。

接下来,推导测量杨氏模量的公式。

首先由(8)式可得

将(9)式代入(7)式可得

由方程(4)可以得到如下关系

因此可得

将(12)式代入(10)式可得

(13)式即为金属丝的杨氏模量的表达式。

2 实验装置设计

金属丝杨氏模量的测量装置示意图如图3所示。首先,用长螺线管代替RLC串联交流谐振电路中的电感。将被测量金属丝的一端于水平导轨的一端固定,另一端跨过定滑轮后穿过直径相对较大的磁棒,磁棒固定在金属丝适当位置,然后将磁棒的一部分插至到自制的密绕长螺线管中心处,然后和拉力传感器的一端连接,为了避免在对金属丝施加外加拉力时造成磁棒在螺旋管内的晃动而增加测量电感的难度,因此设计了一个可以缓慢而稳定变化加力的装置,该装置是用医用输液器向接水杯中稳定添加水来逐渐增加对金属丝的拉力。

图3 金属丝杨氏模量测量装置示意图

拉力传感器的一端垂挂于待测金属丝的另一端,拉力传感器的另一端垂挂一容器。同时,为方便精确测量外加拉力的大小,用拉力传感器对外加拉力进行直接测量。当金属丝受外力而伸长时,由于是用夹子将磁棒和金属丝固定的,所以磁棒会在螺线管内有微小的伸长,从而会使密绕螺线管的电感量发生变化,为测量出电感量的变化值,可以按照实验原理图接好线路并架设实验装置,校准示波器并将其它仪器调节至选定的参数值,并设定适当大小的电阻R和电容C的值,电感用密绕长螺线管代替。将低频信号作为RLC串联交流谐振电路的信号源,注意要保持信号源峰值不变。将和接入示波器的两个轴输入端。然后,调节电路的频率从0~60.0 KHz,并在调节过程中记录电阻两端的电压(大约测量30个点左右即可,在谐振点附近要多测几次,使测量点更密集)。当频率调整到谐振点附近时,除了要记录电阻两端的电压,还需要分别记录电感与电容两端的电压,使二者相等,以达到真正的谐振点。最后,在处理数据时,还可以利用Origin软件[11]绘制曲线。由电磁学实验得知[12-13],当长螺线管的半径R远小于螺线管长度l(R<

3 结 论

本实验基于RLC串联交流谐振能测量较高精度的电感这一特性,自行设计制作部分实验装置,将RLC谐振电路待测电感做成一个长螺线管,当一个磁性棒在长螺线管内移动时,会引起螺线管本身电感量的变化。此时金属丝长度的受外加拉力变化就转换成RLC谐振电路电感的变化,由此提出了一种新的测量杨氏弹性模量的实验方法。该测量方法具有原理简单,精度高的特点。本文中对于电感的测量,也可以用交流电桥来实现精确测量。由于该测量方法实现了非电量的电测量,在一定的条件下可以结合传感器技术,实现智能化测量,而且用此方法也可以采用变面积式来测量角位移,还可以将其推广用来测量压力、应变、比重等参数。还具有输出功率大,输出阻抗小、有较强的抗干扰能力、有较高分辨率(其测量精度可达)、不需要太高工作环境要求、稳定性非常好等优点。其缺点是频率响应低,不宜用于快速动态测量。而且由于示值误差一般为示值范围的0.1%~0.5%,因此不宜让示值范围太大,否则测量精度和示值精度将会相应降低。

[1] 张志东,魏怀鹏,展永.大学物理实验[M].4版.北京:科学出版社,2012:129-134.

[2] 李儒颂,叶文江.金属丝杨氏模量测量装置的设计[J].大学物理实验,2014,27(5):51-53.

[3] 许巧平,苏芳珍,刘竹琴.用光的衍射法测量杨氏模量[J].实验室技术与管理,2012,29(10):101-102.

[4] 梁霄,田源,铁位金,等.横梁弯曲衍射法测杨氏模量实验仪的研制[J].物理实验,2011,31(8): 31-33.

[5] 黄增光,马再超,卢佃清,等.衍射法测量金属丝的杨氏模量[J].物理与工程,2008,18(5):27-30.

[6] 高亚妮,梁海生,谢汇章.共振法测定材料杨氏模量装置的改进[J].中山大学学报论丛,2006,26(5): 5-7.

[7] 吴明阳,朱祥.动态法测金属杨氏模量的理论研究[J].大学物理,2009,28(3):29-32.

[8] 魏勤,卫婷,董师润,等.超声波法测量金属材料的杨氏模量和剪切模量[J].江苏科技大学学报:自然科学版,2012,26(1):27-30.

[9] 方利广.大学物理实验[M].上海:同济大学出版社,2006:12-15.

[10]姚合宝,胡晓云,冯忠耀.大学物理实验[M].西安:陕西人民教育出版社,2001.

[11]牟中飞,吴福根,胡义华.Origin软件在物理实验数据处理中的应用[J].实验科学与技术,2009,7(4): 60-62.

[12]杨述武.普通物理实验(电磁学部分)[M].北京:第三版,高等教育出版社,2004:262-270.

[13]钱丽波.拉伸法测金属杨氏模量实验的智能化设计[J].大学物理实验,2015(1):5-6.

M easurements of Young′s M odulus w ith RLC Series Resonance Circuit

LIRu-song∗,LIU Jing-kai,WANG Fu-han,SUN Ji-yuan,YIEWen-jiang
(Hebei University of Technology,Hebei Tianjin 300401)

We measure Yang′s modulus of metallic wire by RLC series resonance circuit for its higher precision inmeasurement of inductance.We replace inductancewith a solenoid,in which center there is amagnetic rod fixed on metallic wire being tested.In a continuous and uniform increasing force,the inductance of solenoid varied with the length change of themagnetic rod in solenoid.Bymeasuring the inductance of RLC series resonance circuit,we can preciselymeasure themini-elongation ofmetallic wire.Theoretical analysis shows that thismethod not only possesses the advantages of simple and high precision but also realizes the electric measurement of non-electricity.It is practical and has good application prospect.

RLC series resonance circuit;Young′smodulus;solenoid;inductance

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.005.016

1007-2934(2015)05-0053-04

2015-06-01

河北省高校重点学科项目和大学生创新创业训练计划项目(201413584001);河北工业大学教育教学改革研究项目(201303002)