陈怀军，赵文霞，郝长春

(1.宁夏师范学院物理与信息技术学院，宁夏固原 756000；2.陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安 710100)

一种具有宽频效应的声学超构材料

陈怀军1，赵文霞1，郝长春2

(1.宁夏师范学院物理与信息技术学院，宁夏固原 756000；2.陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安 710100)

通过周期性排布具有不同谐振频率的亥姆霍兹共振器，构建了一种宽频带负体弹模量的声学超构材料.首先基于局域共振理论和有效媒质理论，阐述了负有效体弹模量产生的机理并给出了理论表达式，然后利用有限元仿真得到了该超构材料的透反射系数，并用提取参数法计算了有效体弹模量.结果表明，设计的超构材料在673～1 245 Hz的宽频范围内实现了负有效体弹模量.这种设计思路为构建宽频带负声学参数超构材料提供了一种新途径.

局域共振；亥姆霍兹共振器；负体弹模量；声学超构材料

声学超构材料(Acoustic metamaterials,AM)的研究起源于左手材料(Left handed metamaterials, LHMs).自从Smith等通过理论分析提出实现LHMs的方法[1]，并由Shelby等通过实验实现了LHMs以后[2]，LHMs迅速发展为电磁超构材料.由于电磁超构材料具有超分辨成像、平板聚焦、负折射、反常多普勒效应等自然界常规材料所不具备的奇异性质，因此具有重要的应用价值.电磁超构材料以及基于超构材料思想的隐身斗篷被《Science》分别在2003年和2006年两次评为年度十大科技进展之一.将电磁超构材料的设计思想引入声学领域，提出AM的概念是一项较新的研究课题.

2000年，Liu等在《Science》上发表文章，首次提出了局域共振理论，用橡胶包覆的铅球实现了有效质量密度为负值，局域共振理论也随之成为设计AM的指导思想[3].2006年，Fang等通过亚波长的亥姆霍兹共振器(Helmholtz resonators,HR)，在超声频段实现了有效体弹模量为负值[4].负有效质量密度和负有效体弹模量的实现，极大推动了AM的发展，AM也实现了与电磁超构材料类似的负折射[5]、平板聚焦[6]、完美吸收[7]、亚波长成像[8]、隐身斗篷[9-11]等奇异物理现象.AM在水下超声准直、医学超声诊断[12]、兵器隐身和噪声吸收等方面具有广阔的应用价值.

实现有效质量密度和有效体弹模量这两个声学参数为负值，是目前设计研究AM的主要目的之一.负有效质量密度主要由薄膜结构实现[13]，而HR是实现负有效体弹模量的主要手段[14].以HR为基本结构单元，实现了众多负体弹模量或者双负声学参数的AM[15].目前负有效体弹模量AM的设计主要存在频带过窄和设计困难这两大缺点.针对上述阻碍负体弹模量AM发展的两大问题，本文提出了一种空心铝质立方体HR结构，通过改变HR的空腔容积大小，可以很容易地对HR的谐振频率进行调节，并在相应频段实现负有效体弹模量；通过将多个不同空腔容积的HR周期性排列，可以实现宽频带的负体弹模量AM.

1 负有效体弹模量的实现机理与有效体弹模量的计算

1.1 负有效体弹模量的实现机理

在外界声场作用下，当声场频率跟HR的谐振频率相一致时，空气会在HR空腔内发生谐振.此时HR内部积累了大量声场能量，HR内部的空气以自身的本征频率谐振，不受外界声场压力的影响.在这种状态下，会发生外界声场压力方向跟HR内部空气压缩、膨胀步调相反的情况：外界声场压力压缩HR内部空气时，HR内部空气发生膨胀；外界声场压力拉伸HR内部空气时，HR内部空气发生压缩.在谐振频率附近，HR内部空气的膨胀和压缩跟受到外界声场压力压缩和拉伸的步调完全相反，导致了负有效体弹模量的产生.

1.2 有效体弹模量的计算

根据有效媒质理论，当超构材料结构单元周期性排列的晶格常数a远小于波长λ时(一般满足a≤4λ)，就可以将超构材料当作均匀介质处理.要计算AM的有效体弹模量，在入射声波为平面波的情况下，首先需要得出超构材料前后表面的透射系数t和反射系数r.其中透射系数包括透射率T和透射相位Tp；反射系数包括反射率R和反射相位Rp.在求得透射系数和反射系数的基础上，得到AM的有效折射率n和有效声阻抗值Zeff，然后通过反向推导得到AM的有效体弹模量数值Zeff，这就是提取参数法[16].

在AM样品前后表面均为空气介质的情况下，透射系数和反射系数可表述为

(1)

(2)

其中，Z0和Zeff分别为空气和AM的声阻抗值；φ为入射声波的入射角.将Z0=ρ0c0,Zeff=ρc/ρ0c0,n=c0/c和k=ω/c0(ρ0,ρ,c0,c分别为空气和AM的质量密度以及声波在空气和AM中的传播速度)带入(1)式和(2)式中，并且在声波垂直入射的情况下，(1)和(2)式变化为下列形式：

(3)

(4)

经过上述计算，AM的有效折射率n和有效阻抗值Zeff可表述为

(5)

(6)

其中k为声波数；d为样品的厚度；m为虚部分支数.通过(5)式和(6)式，可以得到AM的有效体弹模量Eeff的表达式：

(7)

其中E0为空气的体弹模量数值.

2 HR模型、AM的构建及仿真计算

2.1 HR模型

图1 HR模型图Fig 1HR model diagram

2.2AM构建及仿真计算设置

本文中，AM的周期常数为a=45mm，如图2(a)所示.HR的排列是严格周期性的，仿真计算时将构成AM结构单元的个数设置为4个.仿真计算所用的软件为COMSOLMultiphysics声学模块的频域模式.

图2 AM的构建模型Fig 2Constructed profile of AM

将AM放置在横截面边长为90mm、总长为500mm的矩形声阻抗管的中部，阻抗管的边界设置为硬质边界条件.端口1设置为平面波声源，辐射声压为1Pa的平面波，如图2(b)所示.网格尺寸设置为normal.在端口1和端口2分别采集反射声波信号和透射声波信号.由于两个端口距离AM的表面足够远，两个端口接收到的信号已经剔除了倏逝波的影响，保证了计算的准确性.

3 结果与分析

3.1HR空腔体积对谐振频率的影响

将HR的壁厚设置成t=1mm，通过改变HR的空腔体积改变HR的谐振频率.文中选取了空腔内边长l分别为40，35和30mm的3种HR，并以每种HR作为独立结构单元构成3种AM.将由l=40mm的HR构成的AM命名为AM1，由l=35mm的HR构成的AM命名为AM2，最后一种命名为AM3.图3a～3d分别表示3种AM的透射和反射以及透射相位和反射相位曲线.透射曲线表明，3种AM在3个不同频率处分别出现了3个透射低谷，并且在每个透射低谷对应的频率处，透射相位都发生了扭折.透射率和透射相位的这种性质表明，在透射低谷处AM发生了谐振.AM1，AM2和AM3的谐振频率分别为720，930和1100Hz，如图3a和3b表示.图3c和图3d表示3种AM的反射和反射相位曲线，从图中可以看出，在透射低谷对应的频率处反射最强，并且同时出现相位扭折.反射的这种性质进一步证明了3种AM在各自对应的频率处发生了谐振.按照构成AM的HR的空腔体积由大到小的顺序，AM1>AM2>AM3，3种AM的谐振频率AM1

3.2 宽频带负有效体弹模量的实现

在谐振发生时，由于HR内部的空气以本征频率振荡而跟外界声场压力方向无关，因此会产生外界声场压力方向跟HR内部空气膨胀压缩相反的情况.在这种状态下，有效体弹模量会变成负值.图4为在谐振和非谐振两种状态下AM1中单个HR谐振单元内部归一化的声场压力分布图.声场压力分布图清楚地表明了谐振和非谐振两种状态下的不同声场压力分布情况.图4a表示f=720Hz的谐振状态，此时HR内部声压颜色接近归一化数值为1时的颜色，表明此时HR内部声压接近最大值，声场能量大部分集中在HR内部.此时HR内部空气以本征频率振动而不受外界声场压力影响，在谐振频率附近会产生负有效体弹模量；图4b表示f=1 200Hz的非谐振状态，HR内部声压颜色跟归一化数值为0时的颜色接近，说明HR内部声压跟外界声场压力相当，声场能量基本上在HR的内外空间均匀分布.此时HR内部空气的振动步调与外界声场一致，有效体弹模量为正值.

图5表示3种AM有效体弹模量的实部和虚部.从图5a可以看出，3种AM均在各自谐振频率附近实现了有效体弹模量为负值.AM1、AM2和AM3实现负有效体弹模量的频带分别为711～964Hz，933～1 116Hz，1 106～1 242Hz.实现负有效体弹模量的频带中间数值同时符合HR空腔体积越小，谐振频率越高的规律.

AM1，AM2和AM3中HR的空腔边长l分别为40,35和30 mm

图3 不同AM的透射相位、反射相位曲线

Fig 3 The coefficients and phases of transmission and reflection spectra of different AMs

图4 谐振频率和非谐振频率时AM1声压分布图Fig 4 Pressure field distributions of AM1 at the resonant frequency and non-resonant frequency

图5 三种AM有效体弹模量的实部和虚部Fig 5 The real parts and imaginary parts of effective modulus of the three kinds of AMs

上述3种AM实现负有效体弹模量的规律为我们提供了一种构建宽频带负有效体弹模量AM方法，即将多个不同空腔体积的HR周期性排列构成AM，就可以实现宽频带负有效体弹模量.为了证明这种构建方法的正确性，将上述3种空腔内边长分别为40，35和30 mm的HR混合周期排列构成AM，周期常数依然为a=45 mm.图6给出了这种AM的有效体弹模量，从673～1 245 Hz，实现了带宽为572 Hz的负有效体弹模量.这种设计方法具有一个突出的优点：可以通过调节单个HR谐振单元的谐振频率，就能方便地对负有效体弹模量的带宽和频带范围进行调控.

图6 宽频带有效体弹模量的实部和虚部Fig 6 The real part and imaginary part of the broadband effective modulus

4 结论

以局域共振理论和有效媒质理论为设计思想，通过将多个不同空腔体积HR周期性排列的方式，构建了一种宽频带负体弹模量AM.通过COMSOL仿真计算透射和反射系数，发现HR的谐振频率随着空腔容积的减小而升高.通过提取参数法，计算得到设计的AM在673～1 245 Hz频带范围内，实现了带宽为572 Hz的负有效体弹模量.跟其他结构的负有效体弹模量AM相比，文中构建的AM具有结构简单，频带宽并且频带可调的优点.本文提出的这种利用不同谐振单元周期性排列实现宽频带负有效体弹模量的方法，为设计其他负声学参数AM提供了一种新思路.由于在超声频段要求HR的空腔体积很小，这种设计方法难以实现超声频段的宽频带负有效体弹模量AM.设计新型HR结构单元，并实现超声频段的宽频带负有效体弹模量是下一步的研究方向.

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(责任编辑 孙对兄)

A kind of acoustic metamaterial with broadband effect

CHEN Huai-jun1,ZHAO Wen-xia1,HAO Chang-chun2

(1.School of Physics and Information Technology,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,Ningxia,China； 2.School of Physics and Information Technology,Shaanxi Normal University,Xi’an 710100,Shaanxi,China)

A kind of broadband negative effective modulus acoustic metamaterials(AM) is fabricated by periodically arraying Helmholtz resonators with different resonance frequencies.At first,based on the concepts of local resonance and homogeneous medium,the formation mechanism of negative effective modulus is illustrated and the theoretical expression is given.Then,the transmission coefficients and the reflection coefficients are simulated by using COMSOL multiphysics,and the modulus of the AM can be obtained via extraction method.The simulation results show that the effective modulus of the designed AM is negative from 673 to 1245 Hz.We expect that the proposed AM will significantly contribute to the design of broadband negative parameter AM.

local resonance;Helmholtz resonators;negative modulus;acoustic metamaterial

2015-01-29;修改稿收到日期:2015-04-03

国家自然科学基金资助项目(21402114)；宁夏自治区自然科学基金资助项目(NZ13209，NZ14277)；宁夏自治区高等学校科学研究资助项目(NGY2013109)；宁夏师范学院重点科学研究资助项目(ZD2011002)

陈怀军(1979—)，男，山东莱芜人，讲师，博士.主要研究方向为声学超构材料的设计与功能. E-mail:chenhuaijun79@mail.nwpu.edu.cn

O 429

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0026-05