赵梅梅

(甘肃农业大学理学院，甘肃兰州 730070)

序S-系的(PI)-覆盖

赵梅梅

(甘肃农业大学理学院，甘肃兰州 730070)

在序幺半群上定义了满足条件(PI)的序S-系，给出了循环序S-系满足条件(PI)的充分必要条件，并研究了所有(循环)序S-系具有(PI)-覆盖的序幺半群.

序S-系；条件(PI)；覆盖

0 引言

2001年,Bican等[1]证明了任意结合环上所有模都有平坦覆盖.幺半群上(序)S-系的覆盖是近几年比较活跃的研究方向.Isbell[2]，Fountain[3]和Kilp[4]考虑了S-系的投射覆盖，Mahmoudi-Renshaw[5]研究了循环系的强平坦覆盖和条件(P)-覆盖，并给出了循环S-系有强平坦覆盖((P)-覆盖)的充分必要条件，研究了所有循环S-系有强平坦覆盖((P)-覆盖)的幺半群.2012年，我们利用幺半群S的理想I定义了条件(PI)，并刻画了循环S-系具有(PI)-覆盖的幺半群[6].

本文在序幺半群上定义序S-系满足条件(PI)，给出循环序S-系满足条件(PI)的充分必要条件，并研究所有(循环)序S-系具有(PI)-覆盖的序幺半群.除非特别声明,S均指序幺半群,S-系均为序右S-系.有关序幺半群上序S-系的一些定义和结论参见文献[7].

1 预备知识

定义1 设I是S的理想.称序右S-系A满足条件(PI),如果对任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as≤a′s′,则存在a″∈A,u,v∈I,使得us≤vs′,a=a″u,a′=a″v.

定义2 设I是S的理想.称S的序子幺半群R是弱I-右reversible的,如果对于任意的p,q∈R,存在s,t∈R∩I使得sp≤tq.显然若I=S,则序子幺半群R是弱I-右reversible的当且仅当R是弱右reversible的.

引理2[7]设S是序幺半群,S/ρ是循环序右S-系.如果R是[1]ρ的序子幺半群,使得对于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠∅,那么存在S上的右同余σ,使得R⊆[1]σ且S/σ是S/ρ的一个覆盖.

特别地,R=[1]σ当且仅当R是S的左单式序子幺半群.

2 主要结果

定理1 设S是序幺半群,I是S的理想,ρ是S上的序右同余,则S/ρ满足条件(PI)当且仅当对于任意的s,t∈S,如果[s]≤[t],那么存在u,v∈I,使得us≤vt,uρ1ρv.

证明 充分性.设s,s′,a,a′∈S,满足[a]s≤[a′]s′,那么[as]≤[a′s′].由条件知存在u,v∈I,使得u(as)≤v(a′s′),uρ1ρv,所以[a]=[1]a=[u]a=[1]ua,[a′]=[1]a′=[v]a′=[1]va′,并且(ua)s≤(va′)s′.因为I是理想,所以ua,va′∈I,故S/ρ满足条件(PI).

必要性.设s,t∈S且[s]≤[t],则[1]s≤[1]t.因为S/ρ满足条件(PI),由定义,存在x∈S,u′,v′∈I,使得u′s≤v′t,[1]=[x]u′=[x]v′.设u=xu′,v=xv′,显然有us≤vt且uρ1ρv. 】

命题1 设ρ是序幺半群S上的右同余.如果S/ρ满足条件(PI),那么R=[1]ρ是弱I-右reversible的.

证明 设s,t∈R,则[s]≤[t].因为S/ρ满足条件(PI),所以存在u,v∈I,使得us≤vt,且uρ1ρv,从而R=[1]ρ是弱I-右reversible序子幺半群. 】

命题2 设I是S的理想,P⊆S是弱I-右reversible序子幺半群,ρ=θ(P×P)，则

(1)P⊆[1]ρ;

(2)[s]≤[t]当且仅当存在u,v∈P∩I使得us≤vt;

(3)S/ρ满足条件(PI).

特别地,P=[1]ρ当且仅当P是左单式序子幺半群.

证明 (1) 因为1∈P,所以对任意的p∈P,有p≤p·1,1·1≤1,1≤1·1,p·1≤p,即p∈[1]ρ,所以P⊆[1]ρ.

(2)设s,t∈S,且[s]≤[t],则存在n≥0,pi,qi∈P,si∈S,1≤i≤n,使得s≤p1s1,q1s1≤p2s2,…,qnsn≤t.因为P是弱I-右reversible的,由p1,q1∈P知存在u1,v1∈P∩I,使得u1p1≤v1q1,所以u1s≤u1p1s1≤v1q1s1≤v1p2s2.而v1p2,q2∈P,又因为P是弱I-右reversible的,故存在u2,v2∈P∩I,使得u2(v1p2)≤v2q2,所以(u2u1)s≤v2p3s3.继续这样做,可以得到u,v∈P∩I,使得us≤vt.相反地,设s,t∈S,且存在u,v∈P∩I,使得us≤vt，则有s≤1·s,us≤vt,1·t≤t,所以[s]≤[t].

(3)由(1),(2)易证. 】

下面在序幺半群上给出序S-系有(PI)-覆盖的定义.

定理2 设S是序幺半群,I是S的理想,则每个循环序右S-系S/ρ有(PI)-覆盖当且仅当[1]ρ包含弱I-右reversible序子幺半群R,使得对于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠∅.

证明 充分性.设R是[1]ρ的I-右reversible序子幺半群,使得对于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠∅.根据引理2的证明,在S上定义右同余σ=θ(R×R)⊆ρ,使得R⊆[1]σ且S/σ是S/ρ的一个覆盖，则由命题2知S/σ满足条件(PI).

必要性.假设S/ρ有(PI)-覆盖S/σ,由引理1我们设R=[1]σ⊆[1]ρ且对于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠∅，则命题1知R是弱I-右reversible序子幺半群. 】

称序幺半群S满足条件(A),如果每个序右S-系的循环序子系满足升链条件.称序右S-系AS是弱局部循环的,如果AS的每个有限生成序子系都包含在一个循环序S-系中.

引理3[7]设S是序幺半群,则以下条件等价:

(1)S满足条件(A);

(2)每个弱局部循环序S-系是循环的;

由文献[7]的讨论可知:每个序S-系有(P)-覆盖当且仅当每个弱局部循环序S-系有(P)-覆盖.结合引理3、定理2可得

定理3 设S是序幺半群,I是S的理想,则以下条件等价:

(1)每个序右S-系有(PI)-覆盖;

(2)S满足条件(A),且每个循环序右S-系有(PI)-覆盖;

(3)S满足条件(A),且S的每个左单式序子幺半群T都包含一个弱I-右reversible序子幺半群R,使得对于任意的u∈T,uS∩R≠∅.

推论1[7]设S是序幺半群,则以下条件等价:

(1)每个序右S-系有(P)-覆盖;

(2)S满足条件(A),且每个循环序右S-系有(P)-覆盖;

(3)S满足条件(A),且S的每个左单式序子幺半群T都包含一个弱右reversible序子幺半群R,使得对于任意的u∈T,uS∩R≠∅.

特别地，当序幺半群S和序右S-系上的偏序“≤”变成离散序“=”时，S为幺半群，序S-系为S-系.

定义4[6]设I是S的理想,称右S-系A满足条件(PI),如果对任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as=a′s′,则存在a″∈A,u,v∈I,使得us=vs′,a=a″u,a′=a″v.

定义6[6]设I是S的理想.称S的子幺半群R是I-右reversible的,如果对于任意的p,q∈R,存在u,v∈R∩I使得up=vq.显然,若I=S,则子幺半群R是右reversible的当且仅当R是I-右reversible的.

引理4[6]设S是幺半群,I是S的理想,则每个循环S-系S/ρ有(PI)-覆盖当且仅当[1]ρ包含一个I-右reversible子幺半群R,使得对于任意的u∈[1]ρ,有uS∩R≠∅.

引理5[6]设S是幺半群,I是S的理想,则每个循环S-系有(PI)-覆盖当且仅当S的每个左单式子幺半群T都包含一个I-右reversible子幺半群R,使得对于任意的u∈T,有uS∩R≠∅.

称幺半群S满足条件(A),如果每个右S-系的循环子系满足升链条件.称右S-系AS是局部循环的,如果对于任意的x,y∈A,存在z∈A,使得(xS∪yS)⊆zS.

引理6[8]设S是幺半群,则以下条件等价:

(1)S满足条件(A);

引理7 设S是幺半群,则每个右S-系有(PI)-覆盖当且仅当下列条件成立：

(1)每个局部循环右S-系有(PI)-覆盖;

幺半群S满足条件(A)的充分必要条件是每个局部循环S-系是循环的.结合引理6和引理7可得以下结论.

定理4 设S是幺半群,I是S的理想,则以下条件等价:

(1)每个右S-系有(PI)-覆盖;

(2)S满足条件(A),且每个循环右S-系有(PI)-覆盖;

(3)S满足条件(A),且S的每个左单式子幺半群T都包含一个I-右reversible子幺半群R,使得对于任意的u∈T,有uS∩R≠∅.

证明 (1)⟺(2).由引理6和引理7易证.(2)⟺(3)由引理5易证. 】

推论2[8]设S是幺半群,则每个右S-系有(P)-覆盖当且仅当

(1)每个局部循环S-系有(P)-覆盖;

推论3[8]设S是幺半群,则以下条件等价:

(1)每个右S-系有(P)-覆盖;

(2)S满足条件(A),且每个循环右S-系有(P)-覆盖;

(3)S满足条件(A),且S的每个左单式子幺半群T都包含一个右reversible子幺半群R,使得对于任意的u∈T,有uS∩R≠∅.

[1] BICAN L,EL BASHIR R,ENOCHS E.All modules have flat covers[J].BullLondMathSoc,2001,33:385-390.

[2] ISBELL J.Perfect monoids[J].SemigroupForum,1971,2:95-118.

[3] FOUNTAIN J.Perfect semigroups[J].ProcEdinbMathSoc,1976,20(2):87-93.

[4] KILP M.Perfect monoids revisited[J].SemigroupForum,1996,53:225-229.

[5] MAHMOUDI M,RENSHAW J.On covers of cyclic acts over monoids[J].SemigroupForum,2008,77:325-338.

[6] 赵梅梅,乔虎生.关于循环系的(P)-覆盖的一个推广[J].山东大学学报:理学版,2012,47(4):94-96.

[7] ERSHAD M,KHOSRAVI R.On strongly flat and condition(P)S-posets[J].SemigroupForum,2011,82(3):530-541.

[8] KHOSRAVI R,ERSHAD M,SEDAGHATJOO M.Strongly flat and condition(P)covers of acts over monoids[J].CommAlgebra,2010,38:4520-4530.

(责任编辑 马宇鸿)

(PI)-coversofS-posets

ZHAOMei-mei

(CollegeofScience,GansuAgriculturalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

S-poset satisfying condition (PI) is defined over pomonoid，some necessary and sufficient conditions of cyclicS-posets satisfying condition (PI) are given，and the monoids over which every(cyclic)S-poset has a (PI)-cover are characterized.

S-poset；condition (PI)；cover

2014-12-18;修改稿收到日期:2015-05-25

国家自然科学基金资助项目(11461060)；陇原创新人才扶持计划资助项目

赵梅梅(1986—)，甘肃庆阳人，助教，硕士.主要研究方向为半群理论. E-mail:zhaomm@gsau.edu.cn

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1001-988Ⅹ(2015)04-0018-03