兰 蓉， 沈文文

(西安邮电大学 通信与信息工程学院, 陕西 西安 710121)

基于隶属度函数平均值的阈值分割算法

兰 蓉， 沈文文

(西安邮电大学 通信与信息工程学院, 陕西 西安 710121)

针对图像模糊集模型的构造问题，提出一种基于模糊隶属度函数平均值的阈值分割算法。该算法采用加权平均算子对5种已有的模糊隶属度值进行集结，得到一个模糊隶属度值，从而将图像转化为一个模糊集合，再以指数型模糊散度为目标函数寻找最佳阈值。仿真结果显示了该算法的有效性。

阈值分割；隶属度函数；加权平均算子

图像分割是图像分析的基本、关键环节，为图像的后续处理提供依据。分割是指将图像划分为构成它的子区域。在解决图像分割问题的诸多方法中，阈值分割法由于具有简洁有效的特点，因此受到广泛关注[1-2]。由于图像是对客观存在物体的一种相似性的生动模仿与描述，是对物体的一种不完全、不精确的描述，因此，模糊集理论作为处理不精确信息的有力工具被广泛应用于图像处理领域，其中，基于模糊理论及其推广概念的阈值分割算法成为研究热点之一[3-6]。

基于模糊理论的阈值分割方法步骤为：首先得到图像灰度的隶属度函数值，将图像转化为一个模糊集合；其次采用目标函数优化的方法得到最佳阈值；最后通过二值化实现图像分割。其中采用合适的方法得到图像的模糊集表达是实现分割的关键环节。目前，图像隶属度函数常用的构造方法有S型隶属度函数[7-8]、柯西型隶属度函数[9]以及Gamma型隶属度函数[3]等。Bustince等使用限制等价函数(Restricted equivalence functions, REF)的概念为图像建立模糊集模型[4]。

已有的众多隶属度函数构造方法，通常是根据所处理的具体对象，从中选择一个特定的隶属度函数计算方式，而摒弃其它的隶属度函数来获得图像的模糊集表达，再进行分割。这种处理方式的主要问题在于，对特定隶属度函数的选择往往依赖于使用者的知识偏好，而忽略了某些有价值的信息。

为了改进图像分割效果，本文提出了一种新的隶属度函数构造方法，即隶属度函数加权平均法。该方法利用加权平均算子将多种隶属度函数进行集结，得到新的模糊隶属度值，再利用指数型模糊散度为目标函数寻找最优阈值。

1 灰度图像的模糊集表示

1.1 模糊集

模糊集理论的基本概念[10]如下所示。

定义1 设X为论域，则X上的模糊集A可表示为

A={(x,μA(x)):x∈X},

其中映射

μA:X→[0,1]

称为模糊集A的隶属度函数。令F(X)表示X上的所有模糊集之集。

定义2 设A,B∈F(X)，有

(1) 若∀x∈X，μA(x)≤μB(x)，则称A⊆B；

(2) 若A⊆B且B⊆A，则称A=B。

模糊集之间的运算关系定义如下。

定义3 设A,B∈F(X)，有

μA∩B=min{μA(x),μB(x)},μA∪B=max{μA(x),μB(x)},μAC=1-μA(x)，

则A∩B和A∪B分别称为A与B的交和并,AC称为A的补。

1.2 灰度图像的模糊集表示

设一幅M×N的图像为I，共L个灰度级别，即灰度值g的取值范围为0,1,…,L-1。根据Pal和King[7]的思想，图像可以表示为一个数组，其中每个元素是根据图像的特性得到的灰度值g的隶属度函数值，即图像可表示为模糊集

I={(g,μI(g)):g∈{0,1,…,L-1}}。

在模糊集理论应用于图像分割的过程中，首先需要采用一定的方法建立图像的模糊集模型，即得到灰度值g的隶属度函数值。常用的隶属度函数构造方法有以下两种。

(1) Gamma型隶属度函数

Chaira和Ray在假设图像灰度分布满足Gamma分布的基础上，提出采用Gamma型隶属度函数为图像建模[3]。假设T为分割阈值，则得到图像的隶属度函数

其中常值

gmax和gmin分别为图像灰度的最大、最小值。目标与背景的均值可利用图像I的灰度直方图hI分别计算

(2) 限制等价函数

Bustince等[4]提出使用限制等价函数的概念建立图像的隶属度函数，实现图像的阈值分割，并给出5种具体的计算公式，分别为

Chaira利用指数函数给出另一种限制等价函数的计算公式[11]

2 基于加权平均算子的隶属度函数

借鉴决策分析领域中信息集结的思想，提出基于算术平均算子的灰度图像隶属度函数构造方法。该方法将同时考虑几种不同的图像隶属度计算方式，采用加权平均算子集结不同公式得出的隶属度信息，计算它们的隶属度均值，从而得到图像灰度的隶属度函数值。

定义4 设X为论域，模糊集Ai∈F(X)(i=1,2,…,n)。映射

WAw:F(X)n→F(X)

定义为

其中

w=(w1,w2,…,wn)

为权重向量，且

则称映射WAw为加权算术平均算子。

由定义4可知，加权算术平均算子WAw可对n个模糊集信息进行集结，将其映射为一个模糊集，从而实现利用多个模糊隶属度函数构造一个新的模糊隶属度函数的功能。

事实上，在利用定义4中的算子WAw构造新的模糊集隶属度函数时，由于表达式中涉及各模糊集合的权重取值，因此在实际使用过程中，需要根据具体情况确定相应的权重向量。

在缺乏先验信息的条件下，可以假设各模糊集的相对重要性完全相等，即

此时，映射WAw退化为算数平均算子。

利用定义4中的算子WAw构造图像的模糊集模型，具体如下。

(1)

3 基于隶属度均值的阈值分割算法

阈值化分割算法需要通过优化目标函数选取最佳分割阈值，对图像进行二值化，从而将目标从背景中提取出来。为此，采用指数型模糊散度公式[10]作为目标函数，具体计算如下所示。

定义5[10]设X为有限论域，则模糊集A，B∈F(X)之间的模糊散度DE(A,B)定义为

(2)

性质1 ∀A,B,C∈F(X)，模糊散度DE满足以下性质

(1) 0≤DE(A,B)≤n(2-2e-1)；

(2)DE(A,B)=DE(AC,BC)；

(3)DE(A,B)=DE(B,A)；

(4) 若A⊆B⊆C，则

DE(A,B)≤DE(A,C)

且有

DE(B,C)≤DE(A,C)。

在构造了图像的模糊集隶属度函数模型的基础上，以指数型模糊散度DE为目标函数，提出一种灰度图像的阈值分割算法，该算法的具体步骤如下。

步骤2 根据式(1)得到图像的模糊集表示μI(g,T)。

步骤3 使用模糊散度DE(I,B;T)计算实际分割图像I与理想分割图像B的区别，并以最小模糊散度原则选取最佳分割阈值。

对于理想分割图像B，其隶属度函数为

μB(g)=1，g∈{0,1,…,L-1}。

因此，模糊散度的计算公式可简化为

因此，选取最佳阈值的目标函数为

其中T∈{0,1,…,L-1}。

4 仿真实验

为验证图像分割算法的有效性，选取标准测试图像Number.tif，Moon.tif和Image9.bmp分别进行仿真实验，比较阈值分割的结果。上述测试图像均为灰度图像，且均为单阈值分割。

实验用图及其灰度直方图如图1所示。

(a) Number原图

(b) Moon原图

(c) Image9原图

(d) Number灰度直方图

(e) Moon灰度直方图

(f) Image9灰度直方图

图1 实验用图及其灰度直方图

(a)算法一(T=106) (b)算法二(T=121)

(c)算法三(T=103) (d)算法四(T=105)

(e) 算法五(T=182) (f)本文算法(T=153)

图2 Number图像分割结果

本文的算法对上述5种隶属度函数计算方式进行集结，采用算术平均算子计算5种隶属度函数值的均值，作为图像灰度的隶属度函数值。正是由于采用算术平均算子对多种信息进行了均衡化处理，从而有效克服了分割阈值偏大或偏小这两种极端情形。因此，本文算法的分割结果与其它5种算法相比，在这3幅测试图像的分割过程中，能够取得较为理想的结果。

(a) 算法一(T=91)

(b)算法二(T=91)

(c)算法三(T=76)

(d)算法四(T=92)

(e) 算法五(T=12)

(f) 本文算法(T=39)

(a) 算法一(T=177)

(b)算法二(T=177)

(c)算法三(T=177)

(d)算法四(T=177)

(e) 算法五(T=159)

(f)本文算法(T=176)

5 结束语

讨论了灰度图像的阈值分割算法，考虑到图像具有的不精确性和不确定性，采用模糊集理论提出了一种基于隶属度函数算数平均算子的阈值分割算法。该算法首先采用算数平均算子对多种图像的模糊隶属度函数进行集结，从而将灰度图像转化为一个模糊集合；然后，利用指数型模糊散度建立目标函数，并根据模糊散度最小原则寻找最佳阈值，通过二值化实现图像分割。与同类型算法相比，本文算法基于多种隶属度函数的均值构造图像灰度的隶属度值，实现了信息的均衡化处理，因此在一定程度上避免了阈值过大或过小的问题。同时，由于该算法将不同的隶属度函数值计算方式考虑在内，因此克服了采用单一隶属度函数所带来的信息缺失，在一定程度上弱化了主观因素的影响，对构建图像模糊集模型提供了一种新的思路。

另一方面，由于缺乏先验信息，故本文算法假定各隶属度函数的相对重要性相同，并采用

作为权重向量，使用算术平均算子进行信息集结。可以看出，该算法可以较容易地推广至更一般的情形，即，使用加权算术平均算子WAw获得新的模糊隶属度函数值，其中权重向量

w=(w1,w2,…,wn)

的具体取值可根据需要灵活设置，甚至可以根据具体图像的自身特性自适应选取，这将是我们下一步的研究工作。

[1] Sahoo P K, Soltani S, Wong K C. A survey of thresholding technique [J]. Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 1988, 41(2): 233-260.

[2] 谢勰, 王辉, 张雪锋. 图像阈值分割技术中的部分和算法综述[J]. 西安邮电学院学报, 2011, 16(3): 1-5.

[3] Chaira T, Ray A K. Segmentation using fuzzy divergence [J]. Pattern Recognition Letters, 2003, 24(12): 1837-1844.

[4] Bustince H, Barrenechea E, Pagola M. Image thresholding using restricted equivalence functions and maximizing the measures of similarity [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2007, 158(5): 496-516.

[5] 雷博, 范九伦. 二维广义模糊熵图像阈值分割法[J]. 光子学报, 2010, 39(10): 1907-1914.

[6] Pagola M, Lopez-Molina C, Fernandez J, Barrenechea E, Bustine H. Interval type-2 fuzzy sets constructed from several membership functions: application to the fuzzy thresholding algorithm [J]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems, 2013, 21(2): 230-244.

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[9] Huang L K, Wang M J. Image thresholding by minimizing the measures of fuzziness [J]. Pattern Recognition, 1995, 28(1): 41-51.

[10] Fan J L, Xie W X. Distance measure and induced fuzzy entropy [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1999, 104(2): 305-314.

[11] Chaira T. Intuitionistic Fuzzy Segmentation of Medical Images [J]. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2010, 57(6): 1430-1436.

[责任编辑:祝剑]

Threshold segmentation algorithm based on the average of membership functions

LAN Rong, SHEN Wenwen

(School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

For the problem of building a fuzzy set model for an image, a novel threshold segmentation algorithm is presented based on the average of fuzzy membership degree functions. The proposed algorithm uses the weighted averaging operator to obtain a fuzzy membership degree value by aggregating five existing membership degree values for mapping an image to a fuzzy set, and then select the exponential fuzzy divergence as objection function to obtain the optimal threshold. The simulation results show the effectiveness of the proposed algorithm.

threshold segmentation, membership degree function, weighted averaging operator

2012-12-12

国家自然科学基金资助项目( 61102095) ；陕西省科技计划资助项目(2014KJXX-72)

兰蓉(1977-)，女，博士，副教授，从事模式识别和决策分析研究。E-mail: ronglanlogic@163.com 沈文文(1988-)，女，硕士研究生，研究方向为图像与视频信号处理。E-mail：985194761@qq.com

10.13682/j.issn.2095-6533.2015.02.014

TN911.73

A

2095-6533(2015)02-0077-06