APP下载

重尾索赔下保费收入随机化风险模型的破产概率

2015-06-15乔克林刘琼琼

关键词:学报定理时刻

乔克林,刘琼琼,张 娟

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)

重尾索赔下保费收入随机化风险模型的破产概率

乔克林,刘琼琼,张 娟

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)

本文首先在文献[4-7]的基础上,建立同时考虑利率、保费收取随机化且索赔属于S族的风险模型,在模型中假定索赔计数过程为Poisson过程和保费到达过程为一般更新过程,借助概率论知识、随机过程及文献[6,7]中的方法,得出了该模型在t时刻盈余为负的概率渐近等价式。

1 模型的建立

(1)设Xi为第i张保单的保费额,{Xi,i≥1}是一列独立同分布的非负随机变量序列,其具有共同的分布函数F1和有限的数学期望μ1>0;

E[N1(t)]是更新函数;

(3)Yj为第j次的索赔额,{Yj,j≥1}是一列独立同分布的非负随机变量序列,其具有共同的分布函数F2和有限的数学期望μ2>0;

mN2(t)=E[N2(t)]=λt;

(5){Xi,i≥1},{Yj,j≥1},{N1(t),t≥0}与

{N2(t),t≥0}相互独立。

建立常利率更新风险模型为:

(1.1)

现建立模型(1.1)的贴现过程:

(1.2)

其中δ≥0为常利率。

对于上述风险模型(1.2),我们定义在任意给定t>0时刻盈余为负的概率为

2 重尾分布与重要引理

本文研究索赔分布为重尾的情形,下面给出几个与本文有关的重尾子族(详情可参见[3,8,9]),其中分布F以[0,∞)为支撑集。

介绍了一些重要的子族后,现给出相关的重要引理。

(U(1),U(2),…U(n))。

引理3[6]设X和Y是独立非负随机变量,如果X的分布F∈S,而Y有界且非退化到0,那么乘积XY的分布H∈S。

引理4[6]设分布W∈S,则对任意ε>0,存在一个C=C(ε)>0,使得

对所有n∈N和一切x≥0都成立。

引理5[9]设ζj,j=1,2,…为独立随机变量序列,具有分布Kj∈L,则对任意的n≥1,有

由引理5可得下面结果:

其中N(t)是从0时刻开始计数的计数过程。

证明 由引理5及全概率公式可得

即证。

注:当m=0时,可得到如下结果(参见[8]中的lemmaA3.15):

注:(1)令m=0时,可得下面已知结果:

3 主要结果

下面给出本文的主要结果:

定理3.1 在模型(1.2)中,索赔量{Yj,j≥1}为独立同分布的非负随机变量序列,其分布函数F2∈S,则在t时刻盈余为负的概率可渐近表示为:

(3.1)

证明:风险模型(1.2):

P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)。

由假定条件及引理3可知,Yje-δUj是独立同分布的,记其分布为F且F∈S。

根据引理4,对任一固定ε>0,存在常数C=C(ε)>0,有下面不等式成立。

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)

P(N2(t)=r)

(3.2)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

=r)dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)

E(e-τ)]retP(N2(t)=r)dF1(x1)…dFn(xn)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n),

其中τ表示分布为G的代表性的随机变量。

则存在ε>0,使得(1+ε)E[e-τ]<1。于是,存在常数η0>0,一致地有

所以

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N2(t)=n)≤Cη0<∞。

dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)=mN2(t)=λt。

所以

Ψ(x,t)~λtP(Yje-δUj>x)=

即证(3.1)式成立。

在模型(1.1)中,当常利率δ=0时,模型(1.1)变形为

(3.3)

将风险过程定义为

(3.4)

由于破产仅发生在索赔到达的时刻,显然有

现进一步假定相对安全负荷条件满足

所以

φ(x,t)=P(U(s)<0,∃0≤s≤t|U(0)=x)

在风险模型(3.4)中,当F2∈L*(m)时,得到下面结论。

其中G(t)=1-e-λt。

dG(s)。

P(N1(s)=r)dG(s)

P(N1(s)=m)dG(s)

=G(t)∈(0,∞),(对给定的t>0)。

故有

(3.5)

(3.6)

由于破产仅发生在索赔到达的时刻,且K⊂L,故由引理6及全概率公式,可知对x≥0有

φ(x,t)=P(U(s)<0,∃0≤s≤t|U(0)=x)

再根据(3.6)式及定理1知对任意的ε>0,有

故根据定理1和控制收敛定理得

结合(3.5)式,有

在定理3.2中令m=0,得如下结论。

推论3.1 在上述更新风险模型(3.4)中,设F2∈S,且mN2(t)=λt<∞,则在有限时间(0,t]内的破产概率可渐近表示为

证明:利用类似于定理3.2的方法即可证。

4 结束语

[1]包振华,叶中行.重尾索赔下双复合Poisson风险模型的赤字尾分布[J].汕头大学学报,2008,25(1):10-14.

[2]马树建,王晓谦.重尾分布情况下一类破产概率的研究[J].南京工业大学学报,2007,29(1):97-99.

[3]黄宝安,尹传村.一类重尾分布下的随机游动的渐近结果及其在风险理论中的应用[J].应用数学学报,2009,32(1):28-36.

[4]何莉娜,刘再明.保费收取为随机过程且带常利率的破产模型[J].吉首大学学报(自然科学版),2006,27(2):9-11.

[5]陈珊,莫晓云.带常利率的双Poisson模型的破产概率[J].经济数学,2006,23(4):331—341.

[6]肖鸿民,李红.重尾赔付下带常数利息力的延迟索赔风险模型的破产概率[J].西北师范大学学报(自然科学版),2011,47(6):17-19.

[7]吴永,邵明阳.重尾索赔下常利力更新风险模型的破产概率[J].重庆理工大学学报(自然科学),2010,24(10):97-100.

[8]EmbrechtsP,KlüppelbergC,MikoschT.ModellingExtremalEventsforInsuranceandFinance[M].Berlin:Springe-Vrerlag,1997.

[9]NgKW,TangQ,YangH.MaximaofSumsofHeavy-tailedRandomVariables[J].AstinBulletin,2002,32(1):43-55.

[10]刘莉,茆诗松.常利率下风险模型破产问题的研究[D].上海:华东师范大学数学系,2004.

[责任编辑 毕 伟]

Ruin Probability of Risk Model with Stochastic Premium under Heavy-tailed Claims

QIAO Ke-lin,LIU Qiong-qiong,ZHANG JUAN

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

2015-09-28

陕西省教育厅自然科学基金(2013JK0576);陕西省高水平大学建设专项资金资助项目(2012SXTS07);延安市科研计划项目(2014ZC-6)

乔克林(1964—),男,陕西佳县人,延安大学副教授。

O211.9

A

1004-602X(2015)04-0013-05

猜你喜欢

学报定理时刻
《北京航空航天大学学报》征稿简则
J. Liouville定理
《北京航空航天大学学报》征稿简则
冬“傲”时刻
聚焦二项式定理创新题
《北京航空航天大学学报》征稿简则
《北京航空航天大学学报》征稿简则
捕猎时刻
A Study on English listening status of students in vocational school
一天的时刻