孟彦廷，孟渝.重庆交通大学；.重庆工业职业技术学院

和

分部积分法在非连续函数中的应用

孟彦廷1，孟渝2
1.重庆交通大学；2.重庆工业职业技术学院

近年来，对于积分区间上不连续的函数应用牛顿-莱布尼兹公式求定积分的探讨很多。实际上，对于条件更加严苛的定积分的分部积分法也可以进行更深入分析和研究。本文通过对几种不满足定积分分部积分法条件的情况进行探讨和分析，并得出相应的结论，从而扩大了该公式的应用范围，并且这些结论在像傅里叶级数和变换的运算等方面能发挥实际的作用。

分部积分法；非连续；第一类间断点，其中为任意常数。证明：根据可积性理论，g(x)在[a,b]上可积，那么∫axg(t)dt就在[a,b]上连续（文献1），但注意到由条件②并非[a,b]上g(x)是连续函数，实际上G(x)在[a,b]上不一定处处可导，为了证明简便，假设g(x)在[a,b]上只有唯一一个第一类间断点x0，即

由条件②则

定积分的计算是数学分析的重要内容，而这部分所依赖的唯一理论工具是牛顿-莱布尼兹公式，而该公式的条件要求非常严苛，要求被积函数在积分区间上连续[1]。在现实世界的实际应用中，这些要求几乎很难达到，所以近年来很多文献[2-5]对积分区间上非连续函数的对牛顿-莱布尼兹公式的应用的一些探讨和研究，主要总结一系列非连续函数的定积分计算方法，这些讨论总体来说只是对分段连续函数对牛顿-莱布尼兹公式的适应性的分析，总而扩大该公式的应用范围。但是，对于建立在该公式上，并且条件更加严苛的定积分分部积分法公式未作更深入的探讨。本文将从这方面入手，分几种情况进行讨论，通过分析证明出这个公式的更广泛的应用形式。

定义：如果函数f(x)在[a,b]上有定义，且只有有限个第一类间断点，则称f(x)在[a,b]上分段连续。

定理一

设①F(x)在[a,b]上有连续的导数值，记为f(x)，②g(x)[a,b]上分段连续，则均存在，不妨记为t1和t2，定义g1(x0)=t1，g2(x0)=t2，这时g1(x)和g2(x)分别在[a,x0]、[x0,b]上连续，那么若t1≠t2时，G(x)在x0点不可导，但在[a,x0]和[x0,b]均可导，且导数都为g(x)。由条件①和②得知，F(x)g(x)、f(x)G(x)均在[a,x0]和[x0,b]上可积。应用定积分分部积分法公式，则有

考虑到F(x)与G(x)的连续性，F(x)G(x)在[a,b]上连续，则其中Fˉ(x)=∫axf(t)dt+C。

证明：类似定理一，假设f(x)只有一个第一类间断点x0，在[a,x0]和[x0,b]上f(x)分别为f1(x)和f2(x)。由条件

故上述定理得证。

定理二

设①F(x)在[a,b]上连续且有分段连续的导数，记为f(x)；②g(x)在[a,b]上连续且G′(x)=g(x)。均存在，记为t1和t2，定义f1(x0)=t1，f2(x0)=t2，则f1(x)、 f2(x)分别在[a,x0]、[x0,b]上连续，那么F′(x)在除x0以外的点与-F′(x)相等，由条件①②F(x)g(x)、f(x)G(x)在[a,b]上可积，考虑到

Fˉ(x)的连续性以及Fˉ′(x)（F(x)）在[a,x0]、[x0,b]上连续性。故

例1：设f(x)在[-l,l]上分段连续，且：

由于f(x)只有第一类间断点，则F(x)在[-l,l]要么存在有限导数，要么存在有限的单侧导数，则

实际上，以上三个定理也可以推广到无限区间的广义（反常）积分上去。

例2：求f′(x)的傅里叶变换，设f(x)在(-∞,+∞)分段连续，f(x)存在且只有有限个第一类间断点且

[1]欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2007：251-352(上册),50-70(下册)

[2]陈明升.分段函数积分时应注意的几个问题.数学学习(现高等数学研究)[J].1994,12(4)：19-23

[3]刘厚德.一类在积分区间上不连续函数的积分法.科技信息(学术研究)[J].2008(23)：93-94

[4]何晓娜.关于分段函数的积分运算.广西教育学院学报[J]. 2011(1)：150-151,168

[5]葛喜芳.分段函数的几个积分问题的计算方法.漯河职业技术学院学报[J].2012,11(5)

孟彦廷（1993-），女，重庆人，2013年在“第一届重庆市大学生物理创新竞赛”中荣获论文类二等奖，2014年在第六届全国大学生数学竞赛中荣获重庆赛区一等奖，在2014年全国大学生数学建模竞赛中荣获重庆市二等奖。

孟渝（1963-），男，辽宁铁岭人，硕士，讲师，从事高等数学的教学与研究。