李敏琼

【摘 要】分类讨论思想可将复杂问题分成几个简单问题，应用时应遵循同一性、互斥性、层次性原则，找出题中分类的概念、不唯一的题设或结论、取值范围不同的参数、不确定的图形等进行分类讨论，教学中应加强此题型的训练，避免漏解丢分。

【关键词】数学 分类讨论 原则

数学思想是数学的精髓，初中阶段常见的数学思想包括类比思想、数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。其中分类讨论思想贯穿于整个初中数学，它已经成为各地近年来中考命题的热点。

一、分类讨论的定义和意义

把所研究的问题根据题目的特点和要求，按照一定的标准，把有关问题分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称为分类讨论思想。分类讨论既是一种重要的数学思想方法，也是数学的一种基本解题策略。一方面它可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当地分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的意识，增强学生周密严谨的数学素养。

二、分类讨论的原则

1.同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据，否则在解题时会出现漏解的情况。

例如：化简：|X-3|-|5-X|

此题根据题意，把X的取值分为三段，都在同一标准进行分类讨论。

解：当X<3时，原式=（3-X）-（5-X）=-2；

当3≤X<5时，原式=（X-3）-（5-X）=2X-8；

当X≥5时，原式=（X-3）-（X-5）=2.

2.互斥性原则。分类后的每个子项应当互不兼容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项，否则在解题时会出现重复的情况。

例如：解不等式（a-1）x>a2-1

此题x的系数（a-1）应分成三种情况： a-1>0， a-1=0， a-1<0.这三种情况互相排斥。

解：（1）当a-1>0 即a>1时，则x>a+1；（2）当a-1=0即a=1时，原不等式为0·x>0，不等式无解；（3）当a-1<0 即a<1时，则 x1时，x>a+1；当a=1时，不等式无解；当a<1时，x

3.层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。

例如：已知在△ABC中，∠A=50°，当∠B=_____度时，△ABC是等腰三角形？

此题中的∠A有两种情况：∠A是顶角或底角。当∠A是顶角时，∠B必为底角；当∠A是底角时，∠B又有两种可能：顶角或底角，故又需进行分类讨论。

解：当∠A是顶角时，∠B必为底角，得65°；当∠A是底角时，∠B又有可能为顶角或底角，当∠B为顶角时，得80°，当∠B为底角时，得50°，故答案为50°、65°或80°。

三、分类讨论的常见情况

掌握用分类讨论思想解题的关键在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面笔者结合平时的教学实践举例说明引起分类讨论的一些常见情况。

1.由于分类概念或定义而需要分类讨论

有些数学概念是分类定义的。如实数的绝对值（正数、0、负数的绝对值），两圆相离（外离、内含） ，两圆相切（外切、内切）等，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。

例如：已知|x+1|=3，y2=4，xy<0，求2x+y的值。

本题中的绝对值和偶次幂是分类定义的，x+1可能为正数或负数，y也可能为正数或负数，因此要进行分类讨论。

解：由题意得x+1=±3，y=±2，所以x=2或-4；y=2或-2。又因为xy<0，即x、y异号，所以有两种情况：（1）当x=2，y=-2时，2x+y=2 ；（2）当x=-4，y=2时，2x+y=-6.

又如：圆心距为5的两圆相切，其中一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为________。

本题中的两圆相切是分类定义的，因此要进行分类讨论。

解：当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即是3；当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，即是7，故填7或3.

2.由于题设和结论有多种可能而需要分类讨论

例如：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为______。

本题的条件是不唯一的，这个等腰三角形腰为3还是7？问题中没有说明，所以要分为两种情况讨论。

解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，7，3+3<7，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为7时，三边为3，7，7，三边关系成立，周长为3+7+7=17.故答案为17.

3.由于参数取值范围不同而需要分类讨论

对于具体问题，如求函数解析式、方程的解、不等式的解集等问题中随着参数取值不同而变化，这时要对参数的取值进行讨论。

例如：已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-1≤x≤1，相应的函数值的取值范围是3≤y≤-1，求这个一次函数的解析式。

本题中的一次函数y=kx+b中的k有可能>0，也可能<0，两种不同的取值范围导致y随x的变化不同，所以要分类讨论。

解：（1）当k>0时，y随x的增大而增大，把x=-1，y=-1；x=1，y=3代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=2x+1；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，把x=-1，y=3；x=1，y=-1代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=-2x+1.

4.由于位置或形状不确定而需要分类讨论

对于条件中没有明确图形在什么位置或是什么形状时，应根据不同位置或形状进行分类讨论。

例如：在直角边分别为3cm和4cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。

本题中的菱形与三角形公共的内角不确定，公共的内角可能是直角，也可能是两个锐角中的其中一个，所以要需要进行分类讨论。

解：（1）如图1，当公共的内角是直角时，菱形是正方形， 设正方形的边长是x，则上面的小三角形与原三角形相似，得到， 解得x=， 则菱形的边长是cm； （2）如图2，当公共的内角是∠C时，△BDF∽△BAC，根据勾股定理求得AC=5， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，则菱形的边长是cm.（3）当公共的内角是∠A时，△CEF∽△CAB， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，即菱形的边长是cm.

由此可见，分类讨论思想是解决数学问题常用的一种方法，对学生的能力要求较高，是一个难点，学生在解答此类问题时极易漏解。我们应在教学中有目的、有计划地对学生渗透和强调，加强这方面题型的训练、强化，巩固知识点，让学生逐渐产生分类讨论的意识，解题中仔细分析题意，挖掘题目中可能出现的不同情况，然后采用分类讨论的思想加以解决，使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路变得清晰，提高分析、解决问题的能力。

【参考文献】

[1]刘贻阁.分类讨论的三原则四步骤[J].中学数学，2005（2）.

[2]陈敦峰.浅谈数学中的分类讨论思想. 理科爱好者，2011（3） .

[3]杨朗兵.分类讨论思想在初中数学解题中的应用.中学数学，2010（4）.