闻卉

【摘要】本文通过具体的例题分析同阶无穷小量在证明二元函数极限不存在中的应用，给出了这类题目的解题技巧.

【关键词】 二元函数;极限不存在;同阶无穷小量

1.引 言

二元函数极限的存在性是多元函数微积分教学中的重点内容，而证明二元函数极限的不存在则是学生学习过程中普遍存在的难点.下面通过具体例题分析如何借助同阶无穷小量来证明二元函数的极限不存在，并给出这类题目的解题技巧.

2.实 例

例1 设f（x，y）=x2x+y，证明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 极限的类型为00型未定式，故可设x+y=kx2（即x+y与x2为当x→0时的同阶无穷小量），其中k为任意常数且不为零，由此得y=kx2-x.

因为limx→0

y=kx2-xf（x，y）=1k与k值有关，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例2 设f（x，y）=xx+y，证明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 极限的类型为00型未定式，若将x与y视为相同的变量，则x与x+y具有相同的次幂，故可设y=kx，其中k为任意常数且不为零.

因为limx→0

y=kxf（x，y）=11+k与k值有关，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例3 设f（x，y）=xyx2+y2，证明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 极限的类型为00型未定式，若将x与y视为相同的变量，则xy与x2+y2具有相同的次幂，故可设y=kx，其中k为任意常数且不为零.

因为limx→0

y=kxf（x，y）=k1+k2与k值有关，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例4 设f（x，y）=xy3x2+y6，证明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 极限的类型为00型未定式，若将x与y3视为相同的变量，则xy3与x2+y6具有相同的次幂，故可设y3=kx，其中k为任意常数且不为零.

因为lim x→0

y3=kxf（x，y）=k1+k2与k值有关，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

3.小 结

通过上述例题可以看出，人为选取特殊的路径，即设置y的表达式，使得f（x，y）

中的分子分母为同阶无穷小量，从而利用极限结果的不唯一性证明了这类多元函数极限的不存在性.

【参考文献】

[1]蔡光兴，李德宜.微积分[M].北京：科学出版社，2008.

[2]李逢高，郑列，等.高等数学应用与提高[M].北京：科学出版社，2009.