李晓云 周菊玲 李超群

【摘要】本文基于聚类分析在多元统计分析中的重要作用，介绍聚类分析的定义，并在聚类分析的基础上详细给出了类的几个定义，并且讨论了类的几个特征及其内在关系.并用图解的方式及解析的方式导出类与类之间的距离，从而为进一步的聚类分析做好基础.

【关键词】聚类分析;类;类的特征;类间距离

一、引 言

聚类分析是研究如何将一组样品（对象、指标、属性等） 进行分类的方法.分类是人们深入认识事物的一个重要方法.

本文将在聚类分析的基础上详细探讨类和类的特征.

二、类和类的特征

1.类的定义

我们的目的是聚类，那么什么叫作类呢？由于客观事物的千差万别，在不同问题中类的含义是不尽相同的.因此，企图给类下一个严格的定义，绝非一件易事.下面给出类的几个定义，不同定义，适用于不同场合.

用G表示类，设G中有k个元素，这些元素用i，j表示：

定义1：T为一个给定的阈值，如果对于每一个i，j∈G，有dij≤T（dij为i和j的距离），则称G为一个类.

定义2：对阈值T，如果对于每个i∈G，有1k-1∑j∈Gdij≤T，则称G为一个类.

定义3：对阈值T，V，如果1k（k-1）∑i∈G∑j∈Gdij≤T，dij≤V，对一切i，j∈G，则称G为一个类.

定义4：对阈值T，若对于任意一个i∈G，一定存在j∈G，使得dij≤T，则称G为一个类.

由此可见，定义1的要求是最高的，凡属于它的类，一定也是后三种定义的类.此外，凡符合定义2的类，也一定是定义3的类.

2.类的特征

现在，类G的元素用x1，…，xm表示，m为G内的样本数（或指标数），可以从不同角度来刻画G的特征，常用的特征有：

1.均值x-G（或称为G的重心）： x-G=1m∑mi=1xi

2.样本散布阵及协方差阵：

SG=∑mi=1（xi-x-G）（xi-x-G）′，∑G=1n-1SG

3.G的直径.此处给出两种定义.

（a）DG=∑mi=1（xi-x-G）′（xi-x-G）=tr（SG）

证明：由定义知：SG=∑mi=1（xi-x-G）（xi-x-G）′，其中：

SG=∑（xi1-x-1）2∑（xi1-x-1）（xi2-x-2）…∑（xi1-x-1）（xip-x-p）

∑（xi2-x-2）（xi1-x-1）∑（xi2-x-2）2…∑（xi2-x-2）（xip-x-p）

…………

∑（xip-x-p）（xi1-x-1）∑（xip-x-p）（xi2-x-2）…∑（xip-x-p）2  又知，

（xi-x-G）′（xi-x-G）=（xi1-x-1）2+（xi2-x-2）2+…+（xip-x-p）2=tr（SG）

证毕.

此处，还将给出直径的另一种定义：

（b）DG=maxi，j∈Gdij

3.类和类之间的距离

在聚类分析中，不仅要考虑各个类的特征，而且要计算类与类之间的距离.由于类的形状是多种多样的，所以，类与类之间的距离也有多种运算方法.另Gp和Gq中分别有k个和m个样品，它们的重心分别是x-p和x-q，它们之间的距离用D（p，q）表示.下列是几种常见的定义：

（1）最短距离法.

DK（p，q）=mindjlj∈Gp，l∈Gq

它等于类Gp与类Gq中临近的两个样品的距离，如图所示：

类间距离示意图 类群距离DK（p，q）=d23

（2）最长距离法.

DK（p，q）=maxdjlj∈Gp，l∈Gq

（3）类平均法.

DK（p，q）=1LK∑i∈Gp∑j∈Gqdij

它等于类Gp与类Gq中任两个样品的距离的平均，式中的和分别为类和类中的样品数.

（4）重心法.

Dc（p，q）=dx-px-q，它等于两个重心x-p与x-q间的距离.

（5）离差平方和法.

若采用直径的第一种定义方法，用Dp，Dq分别表示类Gp与类Gq的直径，用Dp+q表示大类Gp+q的直径，则有

Dp=∑i∈Gp（xi-x-p）′（xi-x-p），Dq=∑j∈Gp（xj-x-q）′（xj-x-q），

Dp+q=∑j∈Gp∪Gq（xj-x-）′（xj-x-），

其中x-=1k+l∑i∈Gp∪Gqxi.

用离差平方和法定义类Gp与类Gq之间的距离的平方为：D2w（p，q）=Dp+q-Dp-Dq，如果样品间的距离采用欧氏距离，则有

Dp+q=klk+lD2c（p+q），以下将给出具体证明.

证明：由定义Dp+q=∑j∈Gp∪Gq（xj-x-）′（xj-x-） =Dp+∑j∈Gq（xj-x-p）′（xj-x-p）+2∑j∈Gp∪Gq（x-p-x-）′（xj-x-p）+（k+l）（x-p-x-）′（x-p-x-）

而：∑j∈Gq（xj-x-p）′（xj-x-p）=Dq+k（x-p-x-q）′（x-p-x-q）Dp+q=Dp+Dq+k（x-p-x-p）′（x-p-x-p）_k2k+l（x-p-x-p）′（x-p-x-p）

=Dp+Dq+klk+l（x-p-x-p）′（x-p-x-p）

又知：D2w（p，q）=Dp+q-Dp-Dq，如果样品间的距离采用欧氏距离，则：D2w（p，q）=klk+lD2c（p，q） .

这说明，离差平方和法定义的距离与重心法定义的距离只相差一个常数，而这个常数与两类样品的个数有关.

结语：本文主要讨论了类的四种定义及三个重要特征，并给出了五种类与类之间距离的计算方法，了解这些之后，可为后续经典聚类分析和模糊聚类分析奠定基础.

【参考文献】

[1]何晓群.多元统计分析[M].北京：中国人民大学出版社，2004.

[2]方开泰.实用多元统计分析[M].上海：华东师范大学出版社，1989.

[3]包研科.数据分析教程[M].北京：清华大学出版社，2011.

[4]庄恒扬.模糊聚类计算方法的理论分析[J].江苏农学院学报，1998（19）.

[5]何清.模糊聚类分析理论与应用研究进展[J].模糊系统与数学，1998（2）.