何静

“学生的学习方法与教师的教学方法密切相关，正确的教学方法能启发学生的求知欲，调动学生的学习积极性，为智力活动创造有利条件.”因此为了确保教育教学的高效，在高三复习教学过程中，教师应努力钻研教法和学法，以帮助学生能够从题海中跳出来.平面向量是高中数学中一块重要的内容，它也是数形结合的重要载体.在高中数学必修4的课本中，向量是这样定义的：既有大小又有方向的量.从定义中来看向量就兼具有数量与图形的特征，这也就为解决向量问题提供了方法和依据.一方面，向量可以用有向线段来表示，这是进行向量线性运算（几何运算）的基础;另一方面，根据平面向量基本定理可知平面内的任意一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合，这是向量坐标运算（代数运算）的基础.因此，正确处理向量问题应从数（坐标运算）和形（线性运算）两个角度切入思考.

在高三复习教学的过程中，教师应站在新的高度把握向量的教学，这就要求教师应熟悉高考考试要求.《高考数学科考试说明》对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A，B，C表示），其中：

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题;

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题;

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

从表中可以看出，教师在高三复习教学时没有必要盲目挖深，当然也不能要求过低.而应根据学生的能力水平，以教科书为基础，紧扣考试说明，精心选题，以达到良好的教学效果，下面以具体的实例进行说明.

例1 如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是;当x=-12时，y的取值范围是.

解 由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，∴x的取值范围是（-∞，0）.

当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在线段DE（不含端点）上，CD=12OB，CE=32OB，∴y的取值范围是12，32.故答案为：-∞，0，12，32.

评析 本题以平面向量基本定理为背景主要考查了平面向量的加法运算，本题的难点是要求学生能够理清平面中点P与平面的一组基底OA，OB的相对位置关系，需要学生有一定的分析和综合能力.

例2 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在△BCD内运动（含边界），设AP=αAB+βAD（α，β∈R），则α+β的取值范围是.

解 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），

则（x，y）=α（3，0）+β（0，1），∴α=x3，β=y.

∴Z=α+β=x3+y，即Z表示直线y=-x3+Z的纵截距.

∵B（3，0），D（0，1），C（1，1），∴DB的方程为x3+y=1，BC的方程为x+2y-3=0.

根据图像，

可得Z=x3+y在DB边取得最小值1，在点C处取得最大值43，∴α+β的取值范围是1，43.

评析 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，其实质是“形”转化为“数”.解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则，并注意向量运算的几何意义，其本质是根据相等的向量坐标相同这一原理解题.本题将向量与不等式（线性规划）巧妙地结合在一起，这就提醒一线教师在复习巩固相关的平面向量知识时，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量.

上面的两个例题展示了处理向量问题的两个常规方法：①利用平面向量基本定理线性运算（形）;②建立直角坐标系坐标运算（数）.这两个例题的切入口比较单一，前者从线性运算入手，后者从坐标运算入手.因此，解决向量问题时只需从这两个角度入手，往往就能获得成功.