摘 要：函数思想是探究数学问题方式的最有机组成部分，构造函数的方法是数学中重要的思想方法之一，不少数学问题的解决，使用构造函数的方法，构思巧妙，方法简便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果，从问题的本身的特点出发，创造性的构造一个辅助函数，再利用函数的奇偶性、单调性、可导性以及函数图像的特征来解决问题。该文从构造的视角出发，就构造辅助函数这一思想在不等式、数列、三角函数、方程根的存在性等方面的具体应用中去观察、分析、解决问题中探讨，通过典型例题的解决，以求给人一些启发。

关键词：构造法 辅助函数 特征函数 方程根的存在性

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）09（c）-0134-02

构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，再根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，利用新的观点去观察、分析、理解条件，把握反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助数学工具方便快速的解决数学问题的方法。

1 构造辅助函数，利用函数的单调性

有些不等式的证明和比较大小等问题，如果能根据其问题结构特征，构造相应的辅助函数，从函数的单调性或者最值入手，再去分析、推理，判断，证明过程可能就会变得既简单又明了。

例1 ：若要证明下面数学中常用的两个常用的重要极限公式

（1）；（2）（变形）

只需要证明一下两個不等式，当时，

（1）；（2）（当时，

）。

以下是用通过构造函数法给出上面两个不等式的证明。

（1）构造辅助函数，则≥0，所以函数在上单调递增，所以，即。

（2）构造辅助函数，则

。所以函数在上单调递增，，所以，即，要证不等式两边取对数，即证事实上：可设则因此得不等式，可构造辅助函数下面证明需要函数在上恒大于0。因为所以在上单调递增，从而使得即所以因此证毕。

说明：有些不等式的证明，如果采用常规方法，往往不容易下手或者比较冗繁，但是若从函数思想的角度去考虑，按照函数的某些性质适当构造函数模型，从而就能使问题就可能变得容易解决。

2 构造特征函数，巧妙证明不等式

不等式的证明是数学中的一个难点，除了教材上常见的比较法、分析法、综合法、反证法外，若能根据试题形式结构的特征，构造合适的函数，从函数的单调、对称性、可导性等等方面入手分析，就有可能进行快速准确的证明，这样既培养了学生的创新能力又解决了不等式的证明问题。

例2：已知为正实数，证明：≥

证明：可设，即可构造特征函数，由于为正实数，可得≥，由函数在区间上是单调递增，可得当时，函数取得最小值，不等式证毕。

说明：利用构造函数法证明不等式，解题的关键在于能够敏锐的观察不等式的结构特征，联想并构造合适的函数，由于不等式和函数之间并没有直接的相关关系，因此，究竟应该如何寻找解题的突破口，如何构造合理可行的函数，也就成为解决问题的关键所在，该例题为证明不等式，在这里借助构造特征函数的方法进行处理，首先巧妙构造特征函数，再利用其单调性进行问题的证明，实际效果绝佳，思路既清晰又简洁[1]。

3 构造类型特征函数，巧解三角函数不等式

在不等式的证明中三角函数不等式也是常见的类型，抓住三角函数的奇偶性、周期性和对称性这些特殊性质。在解题过程中只要充分利用三角函数的这些特殊性质就可以既轻松又快速的解决问题。

例3：设，试证

≥0。

解析：可将原式等价转化为

≤

即证不等式：≥，从而可由构造特征函数，因此只需通过导函数在区间为减函数，从而可证明函数在内为减函数，即：可完成上式的证明。

说明：在日常的教学活动中，要注意积累素材，一定要熟悉典型的函数模型，培养学生的“类型题”的意识，使学生养成良好的数学学习与思考的习惯，这样才能在解决数学问题时，才能做到游刃有余，构造最合适的函数模型来解决问题[2]。

4 方程根的存在性的证明

例4：证明方程：在区间内存在唯一的实根。

解析：由题意可构造函数，判断该函数在题目要求的区间内满足根的存在性定理，那么就能说明在此区间内至少存在有根，若再能证明在该范围内此函数是单调的，即可说明根的唯一性。

证明：令函数

因为，，所以，由根的存在性定理可知：至少存在一点，满足又因为当时，，所以函数在区间上单调递增。故在区间内有且只有一个零点，即，此方程存在有唯一的根的证，证毕。

说明：零点定理是数学中一个非常重要的定理，使用此定理，能快速准确的解决很多复杂数学问题，因此要重视培养学生习惯利用定理、性质等数学工具解决数学问题[3]。

总之，函数思想是数学中最重要的数学思想，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，学会用函数和变量来思考问题，学会转化已知与未知的关系，利用函数的性质做工具去发现问题、分析问题、解决问题。一个人仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动的去思考一些问题。因此，在解决数学问题时，构造辅助函数是基本的数学思想，构造的对象和类型可以是多样的，由于构造法是一种创造性的思维活动，对个人的能力要求特别高并且构造思路又因不同的题型而不同，所以要求我们从问题的实际出发，抓住问题的本质，打破思维常规创造性利用所学的数学知识去解决新的问题[4]。

参考文献

[1] 祁祺.巧借构造函数破解高中数学难题[J].中学数学教学参考，2014（7）：92-93.

[2] 毛巨根.证明不等式的一种巧妙方法[J].绍兴文理学院学报，2009（9）：21-25.

[3] 王琪.构造函数，探索解题新路[J].兰州石化职业技术学院，2005（2）：26-27.

[4] 周学良.新课标下中职数学教师的角色转变[J].数学学习与研究，2014（19）：51.