林琳

一沙一世界，一花一天国，一道优质试题也能折射出数学的理性光芒.例如2013年高考陕西卷理科第20题，结构美妙、结论和谐，让人在悠远的意境中感受到深邃的数学之美.

题目：已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（-1，0）， 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线， 证明直线l过定点.

答案：（Ⅰ）轨迹C的方程为：y2=8x；（Ⅱ）直线l过定点（1，0）.

一、 初步推广

结论1已知点T（t，0）， 设不垂直于x轴的直线l与抛物线C：y2=2px（p ≠ 0）交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PTQ的角平分线， 则直线l过定点（-t，0）.

图1证明：如图1，易知t与p异号，不妨设p > 0. 由PQ不垂直于两坐标轴得直线TP与直线TQ都不是抛物线C的切线，即直线TP与抛物线有另一交点Q′，直线TQ与抛物线有另一交点P′.由于x轴是∠PTQ的角平分线，结合抛物线C的对称性得：P′与P关于x轴对称，Q′与Q关于x轴对称.故PQ，P′Q′和x轴三线共点D.

设P（x1，y1），Q′（x2，y2）则P′（x1，-y1），Q（x2，-y2），又设直线PQ的方程为x=my+t，其中m ≠ 0.结合y1-0[]x1-x0=（-y2）-y1[]x2-x1，得x0=2my1y2[]y1+y2+t①

另一方面，y2=2pxx=my+ty2 - 2pmy - 2pt=0 y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

代入①得，x0=-t.即直线l过定点D（-t，0）.

类似地，可以证明结论2和结论3.

结论2已知点T（t，0）， 设不垂直于x轴的直线l与椭圆C：x2[]m+y2[]n=1（m > 0，n > 0）交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PTQ的角平分线， 则直线l过定点m[]t，0.

结论3已知点（T，t，0）， 设不垂直于x轴的直线l与双曲线C：x2[]m+y2[]n=1（mn < 0）交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PTQ的角平分线， 则直线l过定点m[]t，0.

二、 追根溯源

1. 广阔的背景

笛卡尔（1596-1650）认为欧氏几何“使人在想象力大大疲乏的情况下，去练习理解力”，代数则是“用来阻碍思想的艺术，不像一门改进思想的科学”，于是他“寻求另外一种包括这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法”，并最终获得了建立解析几何的线索.平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，从而实现了几何方法与代数方法的结合，她的研究对象之一就是圆锥曲线的性质.

十五六世纪，由于作画、作图的需要而产生了透视法，笛沙格（1591—1661）首先对图形及其影像的几何性质进行研究，引入了无穷远点和无穷远直线、调和点列等概念，给出了著名的笛沙格定理，逐步创立了射影几何.射影几何的内容之一是从极点和极线的视角研究圆锥曲线的性质.

今天，几何学已经有了十余个分支，它们既相互区别又相互联系，不断地发展和完善，交织成一幅绚丽多姿的画卷.这时，我们无法用简短的文字述说几何学的灿烂历史，却能以一道高考试题为窗，探视数与形共舞出的奇妙世界.

2.圆锥曲线的极点与极线

关于圆锥曲线的极点与极线，已经证得下列定理：

定理1已知圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2 ≠ 0），则点P（x0，y0）和直线l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圆锥曲线C的一对极点与极线.

定理2如图2，P为不在圆锥曲线C上的点，过点P引两条割线依次交曲线C于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N（当EH与FG平行时，N为无穷远点），连接EG，FH交于M，则MN为点P对应的极线.则PA、PB为曲线C的切线若P为圆锥曲线上的点，过点P的切线即为极线.

由定理1，在图中，PN为点M对应的极线，PM为点N对应的极线，故MNP为自极三点形.

定理3若过点P可作圆锥曲线C的两条切线，A，B为切点， 则直线AB为点P对应的极线；

定理4（配极原则）如果P点的极线通过点Q，则Q点的极线也通过点P.

图2图3

3.结论再探

如图3，由定理1得，点T（t，0）对应的极线为x=-t，设PQ与P′Q′交于点D，由定理2得点D在直线x=-t上，易知四边形PP′Q′Q为以x轴为对称轴的等腰梯形，故点D在x轴上.所以D为直线x=-T与x轴的交点，即直线PQ经过定点D（-t，0）.

设直线x=-t交抛物线于A，B，由每个点对应的极线唯一和定理3得，直线TA、TB为抛物线的切线.

三、 试题之美

1.结构对称

正是依题设所作图形的“不完整”，使得我们产生“补美”的心理趋向，进而作出图1，获得解题突破口.在图3中，抛物线关于x轴对称，直线PQ与直线P′Q′、直线TA与直线TB分别关于x轴对称，且点T与点D关于y轴对称.而根据定理4得：点T与点D分别在对方的极线上.这些对称关系通过极点和极线的性质相互联系，形成整体.德国数学家魏尔斯特拉斯指出“美和对称性紧密相连”，数学中的对称，不仅仅是视觉上的和谐，更是一种解题方法，常常使得我们追求整体的秩序井然，进而预见数学结论.

2.结论统一

结论1，结论2，结论3可以推广为结论4：圆锥曲线C关于其对称轴对称的两条相交割线PQ与顺次与圆锥曲线交于点P、P′、Q′、Q，则PQ′与P′Q、PQ与P′Q′的交点分别在对方的极线上且两点都在对称轴上.克莱因认为，欧氏几何是射影几何的子几何，在射影几何的观点下，平行与相交得到了统一，点与直线地位平等，圆、椭圆、抛物线、双曲线统一为非退化二次曲线，仿射变换和射影变换可以沟通特殊与一般的关系，常常能帮助我们将中学几何中特殊的命题推广到更一般的命题.数学的发展是逐步统一的过程，统一的目的也正如希尔伯特所说：“追求更有力的工具和更简单的方法”，科学家们试图用统一的观点来概括自然、概括宇宙，但自然无限，宇宙无垠，统一美成为一种永恒的追求.

四、解题断想

视野. 欲穷千里目，更上一层楼. 用高等数学的思想来审视中学数学内容，有利于教师“高屋建瓴”，把握知识模块之间的深层联系；从高等数学的观点探析试题的背景，有利于教师拓广视角，增强问题探究能力；以高等数学的方法来指导教学实践，有利于帮助学生跳出题海，提升学习效益.

意境. 数学美在哪里？众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处.通过一道高考试题，我们看到图形结构的对称，曲线性质的统一，还有数学方法的异曲同工. 做数学，就是欣赏美，就是在实证探究的基础上，在悠远的意境中感悟深邃的数学之美.