邹道亮

【摘要】 本文从小学数学知识的发展体系（教材）、教师具体的教学操作活动和学生数学学习发展的角度，对“如何实施有效的数学模型建构教学”进行了全面深入的思考，提出并系统论述了数学模型建构教学“定模——建模——固模——破模”四步走教学操作的观点.其中，“定模”通过课例分析，论述了准确定模是实施建模教学的关键，并对教材中数学模型常见的呈现方式进行了筛分.“建模”则着重从教学程序设计、教材使用、数学发展、算法优化等四个方面论述了建模教学的注意问题.“固模”和“破模”论述了分层练习设计和教材习题的优化利用、实现模型思想内化并形成能力的做法.

【关键词】数学模型；定模；建模；固模；破模

“模型思想”是课程标准中十个核心概念之一.2011年版《数学课程标准》在课程设计思路中提出：“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验‘从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.”

什么是数学模型？张奠宙教授是这样说的：就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型……我们每堂数学课都在建立数学模型.我非常认同张奠宙教授的说法.数学模型就是一种抽象、简化后的数学结构——概念、字母公式、数量关系、算理、算法、图表、框图、数理逻辑、方程等等，凡是用来描述某个知识点的系统特征及其内部联系或与外界联系结构的都是数学模型.掌握数学模型思想，是学生在数学学习上可持续发展的重要保障.

有效的模型建构教学，教师的教学思考不能仅仅停留在课堂教学的新授环节，应该从小学数学知识的发展体系、学生的认知规律、学习能力持续发展等角度全面考虑，从课前、课中、课后各个教学和训练环节去系统建构数学模型思想.几年的实践研究，我总结了数学模型建构教学“定模——建模——固模——破模”四步走的教学操作心得.

一、“定模”是实施有效建模教学的关键

“定模”，即准确界定一节课的“数学模型”是什么. 这是建模教学的操作程序上首要解决的问题.教学重点≠数学模型，一节课的数学模型应该是统领本节课教学目标内容的一个具体的、有形的知识结构模型.不同课时的教学内容，数学模型的结构和表现形式是不同的.一节课的“数学模型”是什么？需要教者从数学知识体系和教学发展系统等多角度去深入钻研教材，准确掌控教材的编写意图，作出恰当的判断.

【课例一】一年级下册第六单元《100以内的加法和减法（一）》P65例2“两位数加一位数的进位加法”.

课本编排上出现了两种不同的算法（上图）：方法一是运用学生已经熟悉的“数数法”和“凑十法”获得结果，重在突出“满十进一”和理解建立“进位”的概念.方法二则是根据加法的计算法则，先把个位数相加，再算十位上的数.两种算法的建构基础和侧重点都不相同.前者的意图是引导学生利用已有的认知和能力获得结果，并在获得结果的过程中建立新的认知：什么是“进位”？后者则在前者的基础上回归到加法法则的范畴，初步建立“加法法则”的基本认识，为后续的学习发展奠定基础.哪种才是本课需要学生重点掌握的“法型”？这里必须要作出准确的判断，不然教学就失去了主攻方向，造成学生认知上的混乱.从教学的发展角度衡量，本节课的数学模型应该是“加法法则”的初步认识和运用，即方法二.认识和处理“进位”并正确算出得数，则是本课必须突破和建模的难点.这样，本课数学模型的建构过程就形成了“分层突破、逐步建构”的教学思路.

【课例二】二年级下册第四单元《表内除法（二）》P42例3“解决问题”：

问题一：56元可以买几个地球仪模型？

问题二：想一想：如果24元买了6辆越野车模型，一辆越野车模型多少钱？

教材在“怎样解答”中明确指引：一个地球仪8元，求能买几个就是求56元里面有几个8元.从指引当中，我们可以整理出问题一的解题模型：求54里面有（〓〓）个8（用除法计算）.而问题二则没有出现指引.问题二的数学模型是什么呢？很多老师理解为这是一个平均分的问题：把24平均分成6份，每份是多少？还有的老师干脆引入了“总价 ÷ 数量 = 单价”或“总数 ÷ 份数 = 每份数”的数量关系.如果把这些意见都融入到这节课的教学中去，本课就出现了三个数学模型：除法包含除的意义、平均分的意义和数量关系——“三国演义”的局面只有一个结局：学生无所适从的情况下，认知混乱了！我们从教学系统发展的角度分析，不难发现：1.引入数量关系式是一种简单好用的方法，但对于二年级学生已有的认知水平来说，是拔高了学习要求和有理解难度的，应从例题教学中剔除（练习时可以适当渗透）.2.而“包含除”和“平均分”同时教学，也会造成思维和方法运用上的障碍.

本课的数学模型应该是什么？设问一下：问题一和问题二有什么内在的联系与区别？为什么问题一给出了解题思路的指引，而问题二没有给出？仔细分析两个问题，我们不难发现：问题一求的是“几个8”的“几”，问题二求的是“6个几”的“几”.找到问题一和问题二内在的联系与区别后，可以肯定：教材之所以没有在问题二中给出解题指引，其意图就是要老师放手让学生运用问题一的学习所得（解题思路）去解决问题二.这样，本课要建构的解决问题的“数学模型”就定位在一句话——求一个数里面有（〓〓）个（〓〓），用除法计算.教学过程也由此变得简单和高效：一个模型、两种变化、准确理解、熟练运用.（附：板书设计）

表内除法（二）例3——解决问题

求56元里面有（ ）个8元 56 ÷ 8 = 7（个）求24元里面有6个（ ）元 24 ÷ 6 = 4（元）

从上面两个课例“定模”的分析，可以得到这样一个结论：“定模”是有效建模的关键，“定模”的准确与否，决定了“建模”教学的具体操作设计和效果.

教材中数学模型的呈现方式，有以下常见的类型：

1. 文本模型 如：六年级下册“正数和负数”，二年级下册从除法意义过渡的解决问题数学模型：（1）把一个数平均分成几份，求每份是多少？用除法计算.（2）求一个数里面有（〓〓）个（〓〓），用除法计算.

2. 关系式模型 如：路程 ÷ 时间 = 速度、a × b × c = a × （b × c）、侧面积 + 底面积 × 2 = 圆柱表面积等.

3. 公式模型 如：底 × 高 ÷ 2 = 三角形面积、本金 × 利率 × 存期 = 利息等.

4. 直观图模型 如：圆柱的表面认识、条形统计图等.

5. 表格式模型 如：四年级上册“数学广角”、五年级下册“找次品”.

6. 图解式模型 如：一年级下册“两位数加一位数”、五年级下册“打电话”.

7. 网络图模型 如：五年级上册“多边形面积”整理和复习.

二、建模教学要“因材而异”，敢于创编，着眼发展

数学建模普遍采用集合、数形结合、转化、类比、符号化等数学思想及策略.具体的课堂教学操作，各类期刊杂志已经发表了很多成功的经验和案例，这方面本文不作赘述，仅谈谈自己的一些观点.——作者注

用数学建模的思想来指导小学数学教学，对于不同的学习主体（年级）和教学内容，应该体现出一定的差异，同时要关注其内在的关联性.

建构主义的理论认为，小学数学学习是一个主动建构知识的过程.关于数学建模教学，课标指出：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程……”我认为建模教学要注意四个方面：

1. 建模的教学程序要“依材施教”

不同的课型，模型的建立过程也不一样.表象较为单一的知识点可以一步建模.如：概念的定义（自然数、公因数、正反比例等概念）、运算定律（加法/乘法的交换律和结合律等）、图形的面积公式等等，都可以直接从学习材料的表象特征分析中抽象、提取达到完整模型的建立.而一些表象较为复杂多样的知识点，则要分层建模.如：四年级下册“乘法分配律”，例题的探究获得的模型是a × （b + c） = a × b + a × c，这是一个不完善的数学模型，必须在接着的练习中进一步完善成为：a × （b + c） = a × b + a × c，这就是一个分层建模的典型课例.

2.建模的教学要敢于创编教材

我们现行使用的教科书（包括新版），既是教本，又是学本，在编排设计上具有很明显的“教案味”.但是，教材的编排设计（包括教学参考书的指导意见），在一些课程的编写设计上是不完善的，存在与本地区学生的实际生活状况、已有生活体验不相符，或过于简单化等情况.对此类教学编排，有必要对教学材料进行大胆的创编和设计，使教学过程成为更符合学生的认知规律、通过学生自主的探究活动“再创造”的过程.

例如：实验版教材第十二册“比例尺”.

教材直接给出了比例尺的基本模型：图上距离∶实际距离=比例尺，然后编列了相应的例题学习“用模”解决问题.这个编排设计，是小学数学教材中典型的“知其然不知其所以然”的编排设计——如果按照教材的思路和程序施教，学生只有照样子画葫芦，在解决问题中被动地模仿应用.所以，在解决缩小比例尺的实际问题时，学生就出现了大面积的解答错误.此类教学内容，进行创编并使之更符合学生的认知规律是必要的.一句话经验：不要被教材和教参完全绑架了.

数学来源于生活，数学模型的建构也必须立足于生活实际，把教学过程设计为学生自主探究获取体验认知的过程.我在“比例尺”的教学中，创编设计了“直观感知——实验探究——抽象概括”三步走的建模活动，让学生经历“比例尺”的“创造”过程：

第一环节：（欣赏交流：常见缩小图、放大图）感受缩小和放大的现实意义.

第二环节：小组合作，实验探究图像不变形的规律，认识比例尺的实际意义和建立比例尺的基本定义.（下为课堂学习卡：图像不变形的秘密）

小组合作：一瓶350毫升的支装怡宝纯净水的实物瓶身直径是6厘米，高度是18厘米.学习卡上的是它的缩小图像.（图略）

（1）请你根据表格指引量一量、算一算，看能发现什么？

表一：图像与实物各自的瓶身直径、高的对比研究

表二：图像与实物之间相对应的图上距离与实际距离的对比研究

（2）讨论：比较表一、表二，哪一个比能反映出图像与实物之间缩小或放大的关系？

第三环节：在学生通过研究获得了“图上高与实际高的比、图上宽与实际宽的比一样时，图像不会变形”“图上距离与实际距离的比能反映出图像与实物之间缩小或放大的关系”的体验和认知后，进一步引导学生抽象概括，归纳出比例尺的结构性原理并揭示定义：图上距离和实际距离的比叫作（一幅图的）比例尺.

以上三个环节的活动，学生经历了比例尺的探究发现过程，对比例尺的现实意义、类型和模型结构，建立了深刻的体验和认识.

3. 建模教学要着眼数学发展

数学建模的教学过程，要以促进学生的数学知识和学习能力可持续发展为目标.每一节课建模过程的教学设计和操作，既要立足学生已有的学习水平和能力，又要着眼今后的学习发展.教学目标既要基于建模又要高于建模，既要顺着学生思维水平又要着眼学生思维的发展.建模的目的不仅仅是认识和建立数学模型，更重要的是通过建模的学习活动，培养学生会学习和能自主发展的能力.

人的认识过程是由感性到理性再到感性的循环往复、螺旋上升的过程.小学数学的知识体系是一个可持续发展的知识体系，在小学数学的知识体系中，每一个数学模型都是整个知识体系中的一个节点模型，当学习发展到一定层级，相关联的“点模型”会不断地构成线性模型、面模型.也就是说，模型会伴随着教学体系和学生数学认知的持续发展而循环发展和丰满的，最终构成一名学生对数学知识体系的相对完整的认知.例如：一年级下册第六单元《100以内的加法和减法（一）》P65例2“两位数加一位数的进位加法”.本课建立了口算进位加法的基本模型思想，到了笔算加法时，才会演变成为加法计算的完整模型.又如：六年级学完分数问题之后，又学习了“按比例分配”，两个知识点之间是存在转化关系的，教学当中必须要有模型转化发展和整合提升的意识.简而言之，就是教者在建模教学的过程中要带有前瞻性的眼光策略，促进学生数学学习的可持续发展.

4. 算法（解法）的优化也是建模的一种重要方式

一些知识点的教学，会出现算法（解法）多样化的现象，这时就需要引导学生进一步思维，对不同的解题方法策略进行优化选择，使优化的算法（解法）与本节课要建构的数学模型相一致.让学生经历有思维冲突的算法（解法）优选过程，也是数学建模的重要方式.

三、固模——强化体验，促进内化，形成能力

数学模型的建立，并不是学生认识的终结，也不意味着能力的同步形成.数学模型只有回归生活，变换情境，才能巩固模型并拓展模型的外延.从具体的问题经历抽象、提炼，初步构建起相应的数学模型后，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实——即用模练习，使已经构建的数学模型不断得以完善，帮助学生深化对数学模型的理解，形成基本的运用能力.所以，有针对性和有目的性、呈现方式多样化的分层练习，是实现模型思想内化并形成运用能力的必需途径.

例如，“乘法分配律”固模部分练习设计：

1. （P36做一做）下面哪个算式是正确的？正确的画“？菁”，错误的画“？菖”.

56 × （19 + 28） = 56 × 19 + 28 （〓〓）

32 × （7 × 3） = 32 × 7 + 32 × 3（〓〓）

64 × 64 + 36 × 64 = （64 + 36） × 64（〓〓）

2. （创编设计）根据乘法运算定律填空.

49 × 13 - 3 × 49 = 49 × （ ○ ）

35 × 27 + 52 × 27 + 3 × 27 = （ + + ） × 27

3. 解决问题.（题略）

设计意图：

习题1.目的是巩固乘法分配律模型本质意义和基本表象特征的理解.

习题2.填空题，突出了“几个几相减”和多个“几个几”相加的类型，进一步完善模型：（a + b） × c = a × c + b × c，丰富模型的表象认知，使学生体验到：运用乘法分配律简算的题目是多样化的.

四、破模——拓展模型的外延，回归本质认识，提升能力

模仿是小学生数学学习普遍存在的现象.简单化的用模练习，容易造成解题的思维定式，成为思维和能力提升的障碍.因此，必须设计“破模”练习突破模型化的思维定式.教材在编排设计上已经有这方面的体现.

4.

（1）买6块手帕，一共需要多少钱？

（2）用36元钱可以买几个茶杯？

（3）你还能提出其他用除法解决的问题并解答吗？

如：二年级下册第四单元《表内除法（二）》P43“解决问题”练习九的第4题.

问题（1）求的是几个几是多少，用乘法计算.这个设计，就是要造成学生思维认知上的冲突，破解“用除法解决问题”例题教学和基本练习造成的简单模仿和思维定式，确立正确的解题观念：具体问题具体分析.

对教材编列的“破模”练习进行必要的再创造，分解难度，强化练习设计的目的性和针对性，能使之成为更利于破解模型化思维定式和提升数学能力的“利器”，使学生的数学思考从数学表象回归到数学的本质思考上来.

如：我在“乘法分配律”破模部分练习设计中，依据P38第6题，改编设计为两组乘法分配律显性特征和表象不明显的对比性题目：

1. （改编P38练习第6小题）先说说下面算式的意义，再用乘法分配律简便计算.

（1）24 × 99〓〓 24 × 101

（2）24 × 99 + 24〓〓24 × 101 - 24

2. 拓展练习：88 × 125可以怎样算？

设计意图：1.（1） 24 × 99，24 × 101是毫无乘法分配律显性特征的算式；（2）24 × 99 + 24，24 × 101 - 24则是“三不像”——完全与交换律、结合律、分配律的模型表象不符合.这两组题目，学生只有把握住算式的意义，才能找到简算计算的突破口.通过这个改编练习，既丰富了模型的外延，又突破了已经形成的模型化思维定式，使学生的数学思考回归到算式的本质意义上来——正确理解算式的意义才是合理运用运算定律的关键.2.拓展练习：88 × 125可以怎样算？这道开放性的典型题，用拆、分的方式，可以获得两种运用不同运算定律的简便算法：8 × 125 × 11和（80 + 8） × 125.一题多解，既拓展了学生数学模型应用的思维，加深了对不同运算定律的辨析理解，又提升了计算的能力.

通过破模练习，拓展了模型的外延，学生对分配律的运用有了新的认知，强化了简便计算的观念，进一步促进了内化，提升了能力.

总的说来，“定模——建模——固模——破模”四步走教学操作，是实施课时教学有机统一的整体：“定模”侧重于教师对教学内容本身的理解及对学生数学学习水平的把握，引领教学设计和开展；“建模”则是从学生已有的生活知识经验出发，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程；“固模”即模型的运用练习，是数学模型内化成为更高层次的认知和能力的教学环节；“破模”旨在突破思维定式，举一反三，强化解题意识，拓展模型运用的思维能力，引领学生数学学习的深度发展.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]顾泠沅，邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海教育出版社，2009.

[3] 小学数学教学概论[M].北京：开明出版社，1998：200-226.

[4] 王培德.数学思想应用及探究——建构教学[M].北京：人民教育出版社，2008.