王庶

函数作为高中数学的核心内容，它的观点及思想方法贯穿于整个高中数学的全过程，成为高考中考查数学思想方法、能力素质的主要内容. 本文结合近几年高考试题中出现的函数定义域、值域问题，进行归纳分析，以供读者参考.

函数的定义域

常见的函数定义域问题主要是关于根式、分式、对数函数、指数函数等函数定义域问题，通常以选择题、填空题的形式呈现.

1. 常见函数定义域问题

例1 函数[f（x）=4-|x|+lgx2-5x+6x-3]的定义域为（ ）

A. （2，3） B. （2，4]

C. （2，3）[?]（3，4] D. （-1，3）[?]（3，6]

解析 由函数[f（x）]的表达式知，其定义域应满足，

[4-|x|≥0，x2-5x+6x-3>0，] 解之得[-4≤x≤4，x>2，x≠3.]

即函数[f（x）]的定义域为（2，3）[?]（3，4].

答案 C

解读 根式型函数、分式型函数、绝对值型函数、对数函数等定义域问题在历年高考中多次被考查. 解决此类定义域问题，为防止错解，应该先逐个列出满足函数有意义的不等式关系，然后逐个求出相应[x]的取值范围，最后取各个不等式的交集.

2. 抽象函数定义域问题

例2 已知函数[f（x）]的定义域为[[0，2]]，求函数[f（x2-2）]的定义域.

解析 此题是一道抽象函数定义域问题，已知[y=f（x）]的定义域求函数[y=f[g（x）]]定义域问题，通常运用整体代换的方法求解.

[∵f（x）]的定义域为[[0，2]]，

[∴0≤x2-2≤2， ∴2≤x2≤4， ∴2≤x2，x2≤4，]

[∴x≥2或x≤-2，-2≤x≤2， ∴x∈[2，2]?[-2，-2]].

解读 这种题型一般分为两种情况：一种是已知[y=f（x）]的定义域[A]，求[y=f[g（x）]]的定义域；一种是已知[y=f[g（x）]]的定义域[A]，求[y=f（x）]的定义域.不管是哪种情况，在解决这类问题时一定要注意函数的自变量、定义域是什么. 此外整体代换的思想是解决此类问题的主要方法.

函数的值域

从历年的高考试题中可以看出二次函数、指数函数、对数函数等值域问题出现的频率较高. 这类值域问题往往要通过函数的基本性质或结合函数图象、不等式等来求解.

1. 二次函数的值域

例3 求二次函数[y=-x2+4x-2]，[x∈1，4]的值域.

解析 配方得[y=-（x-2）2+2]，[x∈1，4]，求得对称轴为[x=2.]

根据开口方向结合函数图象特征，求得二次函数的值域为[{y-2≤y≤2}].

解读 解决此类问题的方法是先根据二次项系数判断开口方向，其次是看能否通过配方法求得二次函数的对称轴，最后结合图象运用二次函数的对称性求解.

2. 指数、对数函数的值域

例4 求函数[y=4-x-2-x+1，x∈[-3，2]]的最大值与最小值.

解析 [∵y=4-x-2-x+1=（2-x）2-2-x+1]，

令[2-x=t]，则[y=t2-t+1].

又[∵x∈[-3，2]， ∴14≤t≤8].

即[y=t2-t+1]，[14≤t≤8].

[∴y=t2-t+1=（t-12）2+34]，[∴34≤y≤57].

例5 求函数[y=log2x2?log2x4，x∈[1，8]]的最大值和最小值.

解析 由对数的运算性质可得，

[y=（log2x-1）·（log2x-2）]，

展开整理得，[y=（log2x）2-3log2x+2].

令[log2x=t]，[x∈[1，8]]，

则[y=t2-3t+2，t∈[0，3]].

配方得，[y=（t-32）2-14][，t∈[0，3]]，

[∴-14≤y≤2].

解读 指数、对数函数问题，其主要方法是运用换元法将指数、对数函数问题转化为我们熟知的函数形式，比如转化为二次函数、一次函数形式. 在转化过程中往往用到指数、对数的运算性质，在换元替代后还应注意新变量的取值范围.

3. 运用导数求函数值域

例6 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e]=2.71828…为自然对数的底数，设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值.

解析 这是一道典型的运用导数求值域的问题.

由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，

[g（x）=f（x）=ex-2ax-b]，所以[g（x）=ex-2a.]

又[x∈[0，1]]，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].

（1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递增.

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

（2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递减.

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

（3）当[12所以函数[g（x）]在区间[[0，ln（2a）]]上单调递减，在区间[（ln（2a），1]]上单调递增.

因此，[g（x）]在[0，1]上的最小值是

[g（ln（2a））=][2a-2aln（2a）-b].

综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]；当[12