田 琳， 梁华兰， 董金臣

（伊犁师范学院电子与信息工程学院，新疆伊宁835000）

最小时频带宽积Gabor谱图及应用

田 琳， 梁华兰， 董金臣

（伊犁师范学院电子与信息工程学院，新疆伊宁835000）

短时傅里叶变换谱图的方法已广泛运用于信号处理的各个领域，但是短时傅里叶变换谱图的时频分辨率较低。Gabor谱图是短时傅里叶变换谱图的一种特殊形式，文章把时频带宽积最小标准运用到Gabor谱图的窗函数中去，提出了最小时频带宽积Gabor谱图。最小时频带宽积Gabor谱图利用了Heisenberg不确定原理，时频分析结果的时间和频率两个变量都将得到较高的分辨率。将该方法运用于测试信号和实际信号的时频分析，仿真实验结果显示最小时频带宽积Gabor谱图得到了较好的时频分析结果。

谱图；时频带宽积；海森堡不确定原理；时频分辨率

非平稳信号的时域表示可以获得信号随时间变化的规律，它的傅里叶变换可以提供信号频域的全局信息。要得到信号频率随时间的变化规律，需要把一维离散时间信号用时频分析的方法映射到二维时频平面，信号频率随时间的变换规律就会呈现出来。常用的时频分析方法通常分为线性变换和非线性变换两类，其中短时傅里叶变换谱图方法是非线性变换，短时傅里叶变换谱图也常被简称为谱图，谱图被广泛运用于音频信号、地震信号等信号的处理和分析［1，2］。由于谱图的时频分辨率较低，武国宁等人提出了重排的方法提高谱图的时频分辨率［3］。当谱图的窗函数为高斯函数时，并对信号的STFT做时域和频域的采样并取模值的平方，就可以得到Gabor谱图，因此Gabor谱图可以被认为是谱图的一种特殊形式。Gabor谱图和短时傅里叶谱图都要受到Heisenberg不确定原理的制约，分辨率有一定的局限性。

文章把时频带宽积最小准则引入Gabor谱图的窗函数，通过改进窗函数来提高传统Gabor谱图的时频分辨率，并通过测试信号和实际信号的处理来验证本文提出算法的功能。

1 原理

1.1 Gabor谱图

Gabor谱图有两种定义表达，一种是包含有不同阶次Gabor谱图［8］，文献［7］中给出的Gabor谱图另一种定义。虽然文献［8］中提出的高阶Gabor谱图的分辨率较高，它在检测微弱信号方面没有优势，本研究采用0阶的Gabor谱图，该定义形式和文献［7］中给出的Gabor谱图定义一致。信号x t()的Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distributions，WVD）可以表述为［4］：

信号Gabor谱图可以由信号的Gabor变换幅值的平方求出，也可以由信号的WVD和窗函数WVD的二维卷积得到，本文在计算Gabor谱图时采用后者，其表达式为［7］：

其中h为高斯窗函数，WVDh表示窗函数的WVD。

1.2 最小时频带宽积

信号本身和窗函数的时宽和带宽满足下面的关系［5］：

其中Tx和Bx是信号的时宽和带宽，Th和Bh是窗函数的时宽和带宽，Tx和Bx满足下面的关系式：

其中X（f）是信号x t()的傅里叶变换。其中ηt和ηf满足下面的关系式：

其中ηt和ηf分别是信号时域和频域的均值，Tx和Bx是信号时域和频域的标准差。窗函数的Th、Bh的计算方法和Tx、Bx计算方法相同。Tx·h和Bx·h越小，信号时频域的聚集性就越好，时频分析结果的分辨率就越高，因此可以通过最小化时频带宽积来提高信号的时频聚集性。信号x t()的时频带宽积（time-bandwidth product，TBP）简称为TBPx，要使TBPx取得最小值，也就是要最小化：

由Heisenberg不确定原理：

其中带宽B的变量为频率，当B的变量为角速度时，TB的最小值为1／2，（7）式的右边取TB的最小值运算可得：

为了使TBPx取得最小值，窗函数的时宽满足下式［6］：

在TBP最小准则下，信号的最优高斯窗函数满足：

1.3 基于最小时频带宽积Gabor谱图

将TBP最小高斯窗函数带入（2）式得到最小时频带宽积Gabor谱图：

其中WVDhTBP表示TBP最小高斯窗函数hTBP（t）的WVD，hTBP（t）由等式（10）求出，GSTBP表示最小时频带宽积Gabor谱图。

2 仿真

为了验证最小时频带宽积Gabor谱图在提高信号时频聚焦性的功能，一个合成的chirp信号被用来测试文章提出算法的优越性。作为比较，信号的WVD、谱图和平滑伪WVD分布（Smoothed Pseudo Wigner-Ville distributions，SPWVD）时频分析结果在文章中给出。信号的WVD、谱图和SPWVD计算方法源于matlab时频分析工具箱默认的分析方法。测试信号的表达式是：

测试信号包含两个分量高斯脉冲调制的线性chirp信号，信号的实部（如图1所示），信号的WVD，谱图和SPWVD（如图2-4所示）。TBP最小准则下的最优窗函数如图5所示，文章提出算法最小时频带宽积Ga⁃bor谱图如图6所示。

由图2可以看出，信号的WVD分辨率较高，但是含有交叉项。信号的谱图如图3所示，谱图时频分析的结果不存在交叉项，但时频分辨率较低。SPWVD分布存在轻微的交叉项。信号的最小时频带宽积Gabor谱图的时频分辨率较高，并且不存在交叉项。

图1 测试信号的实部

图2 测试信号的WVD

图3 测试信号的谱图

图4 测试信号的SPWVD

图5 TBP最小准则下的最优窗函数

图6 最小时频带宽积Gabor谱图

3 实际信号的处理

实际的蝙蝠回声信号来源于Rice大学，信号如图7所示。信号的WVD、谱图和SPWVD分布如图8-10所示。TBP最小准则下的最优窗函数如图11所示，文章提出算法变换结果如图12所示。

图7 蝙蝠回声信号

图8 蝙蝠回声信号的WVD

图9 蝙蝠回声信号的谱图

图10 蝙蝠回声信号的SPWVD

图11 TBP最小准则下的最优窗函数

图12 最小时频带宽积Gabor谱图

由图8可以看出，信号的WVD分辨率较高，但是含有交叉项，时频分析结果很难辨认出自项和交叉项。信号的谱图如图9所示，谱图不含有交叉项，时频分析结果发生了水平方向轻微的的剪切形变，并且信号的较微弱的分量没有检查出来。SPWVD分布可以检测信号的信号的较微弱的分量，但交叉项没有去除干净。信号的最小时频带宽积Gabor谱图检测到所有的回声信号，并且其时频分辨率较高，交叉项很微弱。

4 结论

文章将时频带宽积最小准则下信号的最优高斯窗函数引入Gabor谱图，利用了Heisenberg不确定原理，得到了最小时频带宽积Gabor谱图。由于最优窗函数和信号之间是相关的，和窗函数和信号之间是相互独立的时频分析方法相比较，利用最小时频带宽积Gabor谱图分布得出的时频分布结果，信号的时间和频率两个变量在时频域都获得了较高时频分辨率。通过测试信号和实际声音信号的验证，最小时频带宽积Gabor谱图分布时频分辨率较高。因此该方法可以运用到音频信号、地震信号、生物医学、雷达等信号的处理和分析。

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［3］武国宁，曹思远，等.谱图重排的谱分解理论及其在储层探测中的应用［J］.地球物理学进展，2012，2（2）：0596-0602.

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Gabor Spectrogram Based Onminimal Time-bandwidth Product and its Application

TIAN Lin， LIANG Hua-lan， DONG Jin-chen
（School of Electric and Information Engineering，Yili Normal University，Yining，Xinjiang，835000，China）

Short time Fourier transform（STFT）spectrogram methods are widely used in various fields of sig⁃nal processing，yet STFT spectrogram has poor resolutions.Gabor spectrogram can be interpreted as special case of STFT spectrogram.In this paper，minimal time-bandwidth product（TBP）criterion is introduced into the window function of Gabor spectrogram；the Gabor spectrogram based on time-bandwidth product is achieved.The optimal Gabor spectrogram utilizes the Heisenberg uncertainty principle and time and frequency acquire good resolutions in time-frequency domain.This method is applied to test signal and the real signal，the results show Gabor spectro⁃gram based minimal TBP has good performances.

Spectrogram；Time-bandwidth product；Heisenberg uncertainty principle；Time-frequency resolu⁃tions

O456

A

1008⁃9659（2015）03⁃066⁃05

2015-06-10

伊犁师范学院科研项目资助（2014YSYB04）。

田琳（1973-），女，山东省济宁市人，实验师，主要从事非平稳信号时频分析的研究。