☉湖北省武汉市第一中学 张友成

悄然升温的函数新贵
——取整函数

☉湖北省武汉市第一中学 张友成

近年来，一些省市调考、联考以及高考数学试卷中，取整函数先是低调出场，接着悄然升温.就命题形式而言，选择题形式的考题有之，填空题形式的考题有之，解答题形式的考题也有之；就试题难易程度而言，容易题有之，中等题有之，难题也有之.下面略举几例.

例1 （湖北省八校2013届高三第二次联考理科数学第9题）已知x∈R，符号［x］表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=-a有且仅有3个零点，则a的取值范围是（ ）.

图1

点评：解决此题的关键有二，一是将较为复杂的函数f（x）=-a的零点问题转化为较为简单的函数y=ax与函数y=［x］的图像交点问题，二是正确作出函数y=［x］（x≠0）的图像，这个图像呈阶梯形状，图像简单，线条明快.在这里，既考查了转化与化归的基本数学思想，又考查了分段作图的基本数学方法，特别是所作图像除一条“线段”两端均无“端点”外，其余“线段”均是有“左端点”而无“右端点”，这就考查得比较细腻了.此题对函数图像要求较高，笔者所在学校2013届高三学生也参加了此次联考，考试后机器阅卷，电脑数据显示，此题得分情况很不理想，比第10题的得分率还要低，是选择题中得分率最低的考题.此题是选择题倒数第2题，系副压轴题，当属难题.

例2 （陕西省2013年高考理科数学第10题）设［x］表示不大于x的最大整数，则对任意实数x、y，有（ ）.

A.［-x］=-［x］ B.［2x］=2［x］

C.［x+y］≤［x］+［y］ D.［x-y］≤［x］-［y］

解析：对于选项A，取x=-1.1，则［-x］=［1.1］=1，而-［x］=-［-1.1］=-（-2）=2，故选项A不正确；对于选项B，令x=1.5，则［2x］=3，而2［x］=2，故选项B不正确；对于选项C，令x=-1.5，y=-2.5，则［x+y］=-4，但［x］=-2，［y］=-3，有［x］+［y］=-5，故选项C不正确；从而选项D正确.

点评：也可正面证明选项D正确.令x=［x］+α，y=［y］+ β，其中，0≤α＜1，0≤β＜1，则x-y=［x］-［y］+α-β，其中-1＜α-β＜1.若0≤α-β＜1，则［x-y］=［x］-［y］；若-1＜α-β＜0，则0＜1+α-β＜1，推出：x-y=［x］-［y］+α-β=［x］-［y］-1+（1+αβ）⇒［x-y］=［x］-［y］-1＜［x］-［y］.故总有［x-y］≤［x］-［y］.此题是选择题的压轴题，其绝对难度并不是很大，但高中课本新教材（人教A版）从头到尾一直没有涉及取整函数y=［x］，学生面对的是一个新概念、新背景、新领域，故相对难度还是很大的.这样命题，既有新意又不失偏颇.这样的试题，堪称“好题”.这一年，陕西省文科数学中也有一道关于取整函数y=［x］的试题，也是“好题”.

例3 （湖北省2013年高考文科数学第8题）设x为实数，［x］为不超过x的最大整数，则函数f（x）=x-［x］在R上为（ ）.

A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

解析：令x=1.1，则f（1.1）=1.1-［1.1］=0.1，但f（-1.1）= -1.1-［-1.1］=-1.1+2=0.9，故选项A、B均错.

由f（1.9）=0.9，f（2.1）=0.1，得选项C也错.

从而选项D正确.

点评：当n∈Z，n≤x＜n+1时，f（x）=x-［x］=x-n，故可分段作出f（x）=x-［x］的图像（如图2），这样就能直接选出正确答案D.

图2

需要关注的是，对于任意一个正数x，［x］表示其整数部分，x-［x］表示其小数部分，通常用符号｛x｝表示，它有许多简洁而有趣的性质，例如：对任意x∈R，函数y=｛x｝的值域为［0，1）；若n∈N，x∈R，则｛n+x｝=｛x｝，此等式表明y=｛x｝是一个以1为周期的周期函数等.可以说，函数y=｛x｝与函数y=［x］相伴相随，相映成趣.

取整函数也称高斯函数INT（x），它有多种类型，如四舍五入取整函数Round（x），上取整函数y=［x］，下取整函数y=［x］，若不特别说明，取整函数y=［x］通常指下取整函数.取整函数y=［x］，以往不时出现在各级各类竞赛或自主招生考试中，颇受命题组的青睐，但在高考中还鲜有出现，现在，既然取整函数y=［x］不约而同地出现在一些省市的高考试卷上了，并且还有悄然升温的征兆，那么研究一下取整函数的一些基本性质就有一定的意义了，下面给出取整函数y=［x］的几条性质.

性质1：对任意x∈R，均有x-1＜［x］≤x＜［x］+1；

性质2：取整函数是一个不减函数，即对任意实数x1、x2，若x1≤x2，则［x1］≤［x2］；

性质3：若n∈N，x∈R，则［n+x］=n+［x］；

性质4：若x∈R，y∈R，则［x］+［y］≤［x+y］≤［x］+［y］+1；

性质5：若n∈N+，x∈R，则［nx］≥n［x］；

最后，应该指出，取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用.可以展望，随着高考命题研究的不断深入，取整函数［x］的“出镜率”将越来越高，这是一个方兴未艾的研究课题，是一块尚待深入发掘的热土.A