姜东，吴邵庆，费庆国，韩晓林

(1.东南大学工程力学系，南京 210096;2.江苏省工程力学分析重点实验室，南京 210096)

蜂窝夹层复合材料不确定性参数识别方法

姜东1，2，吴邵庆1，2，费庆国1，2，韩晓林1，2

(1.东南大学工程力学系，南京 210096;2.江苏省工程力学分析重点实验室，南京 210096)

提出蜂窝夹层复合材料不确定性参数识别方法。采用三明治夹芯板理论建立铝蜂窝夹层结构的初始有限元模型，其中芯层等效弹性参数由均匀化方法计算。据芯层结构及相对灵敏度分析，选存在不确定性且对动态特性敏感性较大的面外剪切模量及面板厚度为待识别参数。对6块铝蜂窝复合材料板进行自由－自由边界条件下动态试验，获得试验模态参数的均值及标准差。据试验结果采用所提方法识别铝蜂窝夹层板不确定性参数。结果表明，对存在不确定性参数的铝蜂窝夹层复合材料用该方法能准确识别参数的均值及标准差，并建立具有准确统计意义的动力学模型。

蜂窝夹层复合材料;不确定性;有限元;参数识别

蜂窝夹层复合材料因结构形式独特及诸多单质材料不具备的优异性能，已成为航空航天结构中不可或缺的材料之一［1］。然而，由于制备工艺造成的面板参数及胞孔排列不规则、孔壁材料分布不均匀、填充材料孔洞等导致蜂窝夹层复合材料力学性能存在明显不确定性。

蜂窝夹层复合材料力学性能研究建立在对芯层等效弹性参数研究基础上［1－6］。用等效弹性参数建立有限元模型能较大程度提高分析效率。Gibson等［1］考虑蜂窝芯层轴向、剪切变形推导出正交各向异性的9个弹性参数;富明慧等［2］考虑蜂窝壁板伸缩变形对面内刚度影响，提出考虑蜂窝芯层面内刚度的简化方案，并对面内等效弹性参数的Gibson计算公式进行修正。陈玳珩等［3］提出满足蜂窝芯与面板间位移连续条件的等效弹性参数分析方法;徐胜今等［4］基于低阶剪切理论提出正交各向异性蜂窝夹层板高精度等效分析方法;张铁亮等［5］通过对三种不同等效方法的静、动力计算结果比较研究，认为三明治夹芯板理论为等效参数的优选方法。姜东等［6］提出将面板与胶层等效为层合材料的蜂窝夹层复合材料模拟方法。针对蜂窝夹层复合材料不确定性已有相关研究［7－8］。寇东鹏等［7］通过对胞壁随机移除的蜂窝结构动态变形过程进行有限元模拟，分析随机缺陷对蜂窝结构变形模式影响。Flores等［8］用计算多尺度方法研究泡沫填充蜂窝芯结构力学行为的不确定性。而对蜂窝夹层材料不确定性的反问题尤其据动态性能识别材料不确定参数具有重要工程意义。。

有限元模型修正［9－12］可作为准确识别复合材料参数的有效方法。在不确定性描述［13］方法基础上不确定性有限元模型修正得以发展。基于摄动法的模型修正，若待修正参数不确定程度较小则可高效获得修正结果［14－15］。而基于区间分析的修正方法，待修正参数区间在迭代过程中易扩张，且每次迭代需用优化方法计算各参数区间，对实际结构计算量较大［16－17］。

本文采用基于摄动法的有限元模型修正理论识别蜂窝夹层复合材料不确定参数。提出蜂窝夹层复合材料不确定性参数识别方法，即①在蜂窝芯等效弹性参数理论分析基础上用三明治夹心板理论建立铝蜂窝夹层板初始有限元模型;②据芯层结构及相对灵敏度分析选待识别参数;③通过多组试验数据获得模态频率均值与标准差，识别铝蜂窝夹层板不确定性参数;④据识别后参数均值及标准差构造样本，代入有限元模型中计算模态参数，并将计算与试验结果统计特征进行比较，验证方法的可行性。

1 蜂窝芯等效弹性参数

三明治夹心板理论通过蜂窝芯等效弹性参数模拟夹层板结构。认为上、下面板服从Kirchhoff假设，蜂窝芯层能抵抗横向剪切变形且具有一定面内刚度，等效为均质、厚度不变的正交各向异性层。

蜂窝芯等效弹性参数可通过均匀化理论获得［1，4－5］。蜂窝芯单胞见图1。当l=h，θ=30°，即蜂窝芯胞元为正六边形时，有

图1 蜂窝芯单胞Fig.1 Unit cell of honeycomb core

式中:Ecx，Ecy，Ecz为等效弹性模量;Gcxy，Gcxz，Gcyz为等效剪切模量;Es为蜂窝芯材料弹性模量;Gs为蜂窝芯材料剪切模量;γ为修正系数，理论值取1，工程中一般取0.4～0.6;μxy=μyz=μxz=0.33为材料等效泊松比。

由质量等效可得蜂窝芯等效密度为

2 不确定性识别方法

用基于摄动法的不确定性有限元模型修正理论作为复合材料不确定弹性参数识别方法。确定性有限元模型修正可归结为优化问题，即

式中:ε为模态参数残差;zm，za(p)∈Rn分别为试验与计算的模态参数;W为反映各模态参数残差相对权重的对角阵。

在待识别材料参数p∈RN的合理取值范围p1≤p≤p2内求解pA，使目标函数J( p)试验与计算模态参数的加权残差取极小值，则pA为参数的精确识别结果。待识别参数可通过相对灵敏度分析选取，避免参数量纲及数量级影响，即

式中:Sr为相对灵敏度矩阵;fi为第i阶模态频率;pj为第j个参数。

用灵敏度分析方法迭代求解式(3)，第j个迭代步的识别问题可描述为

式中:Sj=W1/2∂zj/∂pj为模态参数对待识别参数的加权灵敏度矩阵。

考虑试验模态参数及结构参数的不确定性，式(5)中参数应考虑为随机参数，即

将式(6)代入式(5)可得不确定性结构参数识别问题的迭代方程为

用摄动法将式(7)中关于δ的零阶项及一阶项分离，得

若计算模态参数对待识别参数的加权灵敏度矩阵病态，可用求解不适定问题的正则化方法求解式(8)。转换矩阵变为

用式(14)计算待识别参数的协方差矩阵可避免计算模态参数对待识别参数的二阶灵敏度矩阵从而减少计算量。由式(11)、(14)可求解不确定性结构参数识别问题。

3 算例研究

本文研究对象为铝蜂窝夹层板，面板、芯层材料均为铝合金，弹性模量68 GPa，密度2 700 kg/m3。试验蜂窝夹层材料几何参数见表1。通过对6块同尺寸铝蜂窝板自由－自由边界条件的模态试验，进行铝蜂窝板弹性参数不确定性识别研究。

表1 试验蜂窝夹层材料几何参数(单位:mm)Tab.1 Geometrical parameters of honeycomb sandwich plate

3.1 模态试验

试验采用锤击法，自由－自由边界条件用橡皮绳将铝蜂窝夹层板悬挂模拟，粗略计算模态振型布置加速度传感器测点避开模态节点，确定试验对象大致频率范围，设置采样频率。试验频率范围0～1000 Hz，在蜂窝板面均匀布置121个激振点，激振方向垂直蜂窝板平面。对6块铝蜂窝夹层板试验获得6组模态振型及频率。由于试验或铝蜂窝板不确定性，试验结果存在一定离散性，前4阶试验模态频率均值及标准差见表2。铝蜂窝夹层板试验模态振型见图2。

表2 铝蜂窝夹层板试验模态频率Tab.2 Experimental modal frequencies of honeycomb sandwich plate

图2 铝蜂窝夹层板试验模态振型Fig.2 Experimental mode shapes of honeycomb sandwich plate

3.2 不确定性参数识别

按蜂窝夹层复合材料不确定性参数识别步骤，据式(1)、(2)计算(γ取1)获得蜂窝芯等效参数见表3。将表3参数作为初始值，面板与蜂窝芯分别采用壳单元及实体单元建立蜂窝夹层结构初始有限元模型。初始有限元模型计算、试验模态频率均值比较见表4，其中第一阶模态频率误差最大为9.93%。

3.2.1待识别参数选取

通常选误差部位或对结构动态特性敏感性较大参数。本文铝蜂窝夹层板内部结构见图3。因制造工艺等因素蜂窝芯胞元形状及排列方式均不规则，导致铝蜂窝芯层等效弹性参数存在一定不确定性;蜂窝夹层复合材料面板与芯层由胶层粘接，而胶层的力学性能远弱于面板及芯层材料，导致面板与芯层间非理想刚性连接，弱层引起的层间剪切效应会造成铝蜂窝夹层材料宏观力学性能一定程度降低，可选面板参数为待识别参数［6］。

表3 蜂窝芯等效参数Tab.3 Equivalent elastic parameters of honeycomb core

表4 初始有限元模型计算、试验模态频率均值比较Tab.4 Comparison between the initial computational and experimental modal frequencies

在初始有限元模型基础上分析铝蜂窝板模态频率对各参数灵敏度。便于比较，采用相对灵敏度。模态频率对各参数的相对灵敏度见表5。由表5看出，各阶频率对面板厚度、蜂窝芯等效面外剪切模量Gcxz、Gcyz的相对灵敏度显著高于其它等效弹性参数。

图3 蜂窝夹层板内部结构Fig.3 Internal architecture of honeycomb sandwich plate

表5 铝蜂窝夹层板各阶频率对各参数的相对灵敏度Tab.5 The relative sensitivity of frequencies with respect to parameters

3.2.2识别结果

选铝蜂窝芯等效面外剪切模量Gcxz、Gcyz及面板厚度为待识别参数，用不确定性参数识别方法据6组试验模态参数修正铝蜂窝夹层板初始有限元模型，以获得具有统计意义的结构参数。在参数识别迭代过程中取加权矩阵W=I，正则化参数λ=0，并对参数据可能的变化范围施加约束求解。

图4 待识别参数均值收敛曲线Fig.4 Convergence of the mean－value of selected parameters

待识别参数均值收敛曲线见图4，可见经20次迭代后参数均值收敛。识别前后不确定参数统计特性比较见表6。收敛后剪切模量Gyz均值变化量为－50%，Gxz均值变化量为－30%，将识别后结果代入等效剪切模量计算式(1)可反推出等效参数计算式中修正系数γ值。参数标准差初值取0，迭代收敛后识别出待识别参数标准差。计算模态参数均值误差收敛曲线见图5。据识别后结构参数均值及方差采用蒙特卡洛方法(Monte－Carlo Method)构造1000个样本代入有限元模型中计算获得1 000组模态参数，由此获得计算模态参数的统计量。识别后计算结果与试验模态参数统计量比较见表7。由表7看出，识别后前四阶模态频率均值最大误差由初始模型的9.93%降到4.71%;模态参数标准差计算值接近试验结果，能反映结构动态特性的离散性。该识别结果表明，对存在不确定性的铝蜂窝夹层复合材料，用本文方法能准确识别铝蜂窝夹层板不确定参数的统计特征包括参数均值及标准差，从而建立具有统计意义的准确动力学模型。

表6 识别前后不确定参数统计特性比较Tab.6 Comparison of statistical characteristics of selected parameters between before and after parameter identification

图5 计算模态参数均值误差收敛曲线Fig.5 Error convergence of the mean－value of computational modal data

表7 识别后计算结果与试验模态参数统计量比较(1000 samples)Tab.7 Comparison of statistical characteristic between identified computational results and experimental modal data

4 结论

本文通过所提蜂窝夹层复合材料不确定性参数识别方法，据蜂窝芯层等效弹性参数建立铝蜂窝夹层板初始有限元模型，通过分析芯层结构及相对灵敏度选取待识别参数，并据6组试验数据所得模态频率均值及标准差识别铝蜂窝夹层板不确定性参数。结论如下:

(1)对蜂窝夹层复合材料应选存在不确定性且对动态特性影响较大的参数进行识别。

(2)识别后铝蜂窝板前四阶模态频率均值误差绝对值最大不超过5%，模态参数标准差计算结果接近试验值，可准确反映蜂窝板动态特性的离散性。

(3)该方法能准确识别铝蜂窝夹层板不确定参数均值及标准差，可建立具有统计意义的准确动力学模型。

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Parameter identification approach of honeycomb sandwich composite with uncertainties

JIANG Dong1，2，WU Shao－qing1，2，FEI Qing－guo1，2，HAN Xiao－lin1，2
(1.Department of Engineering Mechanics，Southeast University，Nanjing 210096，China; 2.Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics，Nanjing 210096，China)

An approach of parameter identification for predicting uncertainties in honeycomb sandwich composite is provided.The initial finite element model of a honeycomb plate is constructed by the application of an appropriate sandwich theory，in which the equivalent parameters were predicted by homogenization method.According to the analysis of the internal honeycomb structure and the relative sensitivity of eigenvalues with respect to system parameters，the sensitive parameters including the uncertainties(Gcxz，Gcyzand thickness of the face sheet)are selected to be identified. Through modal experiments of six different honeycomb plates with free－free boundary condition，the mean values and deviations of the modal frequencies are obtained，using which the uncertain parameter identification of honeycomb sandwich plate is conducted.Identification results show that when considering the uncertainty in honeycomb sandwich composite，the proposed identification method can be used for accurately identifying the mean values and deviations of the uncertain parameters and the dynamical finite element model with statistical significance can be constructed.

honeycomb sandwich composite;uncertainty;finite element method;parameter identification;witn satisfactory

V250.3;TB303

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.003

教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET－11－0086);江苏高校优势学科建设工程资助项目(1105007001)

2013－10－09修改稿收到日期:2014－01－15

姜东男，博士生，1985年生

费庆国男，博士，教授，博士生导师，1977年生邮箱:qgFei@seu.edu.cn