韩宝燕

（山东工艺美术学院公共课教学部，山东 济南250000）

1 等价关系

1.1 等价关系的定义

定义1 设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系.对于任何x，y∈A,如果∈等价关系R，则记作x～y.

下面举个例子。

例（1）在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系，而朋友关系不一定是等价关系，因为它可能不是传递的.一般称这种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等价关系.

（2）动物是按种属分类的，“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系.

（3）集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系.

（4）在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系，但直线间的平行关系不是等价关系，因为它不是自反的.

1.2 等价类的定义及性质

设R是非空集合A上的等价关系，则A上相互等价的元素构成了A的若干个子集，叫做等价类.下面给出等价类的一般定义.

定义2 设R是非空集合A上的等价关系，对任意x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}，则称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x].

等价类具有下面的性质：

设R是非空集合A的等价关系，对任意的x，y∈A，下面的结论成立.

（1）[x]≠Ø，且[x]⊆A；

（2）若xRy，则[x]=[y]；

（4）x∈A∪[x]=A.

含义是（1）表明任何等价关系都是集合A的非空子集；（2）和（3）说的是在A众任取两个元素，它们的等价类或是相等，或是不交.比如，在例2.1中1、4和7的等价类彼此相等，都是{1，4，7}.但1和2的等价类彼此不交.（4）表示所有等价类的并集就是A.在例2.1中就是

{1，4，7}∪{2，5，8}∪{3,6}={1，2，…，8}.

2 等价关系的应用

等价关系作为一种特殊的二……