马 茜，米洪海

(1.军事交通学院基础部，天津300161;2.北京师范大学珠海分校应用数学学院，广东珠海519085)

包含度刻划的是一集合被另一集合包含的程度的量，是包含关系的定量描述，它包容了“关系”的不确定性。包含度理论同模糊集理论相辅相成，成为研究不确定性问题的重要工具。不同的包含度的具体形式各有优劣，为了应用时能够有更多模糊粗糙集的包含度的具体形式可供选择，给出模糊粗糙集的包含度的生成方法很有意义［1－2］。本文给出了L－模糊集的包含度的性质，在此基础上定义了Nanda意义下模糊粗糙集的包含度，利用所证的包含度的性质给出了模糊粗糙集包含度的生成方法，最后从另一角度通过构造某些函数进一步讨论了强包含度的生成问题。

1 包含度的性质

定义1 设(L，≤)是非空偏序集，若映射D:L×L→［0，1］，对任意的 α，β，γ∈L 满足:当 α≤β时，D(β/α)=1;当 α≤β≤γ 时，D(α/γ)≤D(α/β)，则称D为L上的包含度函数，D(β/α)为α在β中的包含度。若当 α≤β≤γ 时，D(α/γ)≤D(α/β)∧D(β/γ)，则称 D 为强包含度函数，D(β/α)为α在β中的强包含度。

定义 2［3］映射 T:［0，1］×［0，1］→［0，1］称为三角模，如果对∀a，b，c，d∈［0，1］满足:T(a，1)=a;T(a，b)=T(b，a);T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c));T(a，b)≤T(c，d)(a≤c，b≤d)。若T(a，1)=a 改为 T(0，a)=a，称 T 为反三角模，记为S。

定义3［4］L－模糊集为给定论域U上的一个映射U→L，其中(L，≤，＇)是一个带有一元逆序对合算子＇的完备格。

设 U1，U2，…，Un为论域，U=U1× U2× … ×Un，FL(Ui)是 Ui上 L－模糊集组成的集合，i=1，，式中

定理1 设 D1、D2分别为 FL(U1)、FL(U2)上的(强)包含度，则 D(B/A)=TS(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))是 H2(U)上的(强)包含度，其中，TS 表示三角模或反三角模。

证 以反三角模为例，证强包含度时成立。

(1)显然0≤D(B/A)≤1;

(2)A⊆B⇒A1⊆B1，A2⊆B2⇒D1(B1/A1)=1，D2(B2/A2)=1⇒D(B/A)=S(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))=1;

(3)A⊆B⊆⇒Ai⊆Bi⊆Ci，i=1，2⇒

D1(A1/C1)≤ D1(A1/B1)∧ D1(B1/C1)，D2(A2/C2)≤D2(A2/B2)∧D2(B2/C2)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(A1/B1)，D2(A2/B2))=D(A/B)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(B1/C1)，D2(B2/C2))=D(B/C)

故 D(A/C)≤D(A/B)∧D(B/C)，故 D(B/A)是H2(U)上的强包含度。

定理1可用于递推生成Hn(U)上的(强)包含度，由于三角模与反三角模有多种具体形式，从而可在Hn(U)上生成多种形式的(强)包含度。

推论1

式(1)—(4)都是Hn(U)上的(强)包含度，其中 N1、N2是{1，2，…，n}的任意两个互补的子集。

定义4［3］设(U，≤1)和(V，≤2)是两个非空偏序集，若映射 g:U→V 对∀A1，A2∈U，当A1≤1A2时，有g(A1)≤2g(A2)，则称g为保序映射。

定理 2［3］设 g 是(U，≤1)到(V，≤2)上的保序映射，D是(V，≤2)上的(强)包含度函数，则D＇(B/A)=D(g(B)/g(A))是(U，≤1)上的(强)包含度函数，其中A，B∈U。

2 模糊粗糙集的包含度

定义5［5］设 U为一非空集合，(L，≤)为一格，B为U上所有子集构成的布尔代数的子布尔代数，一粗糙集 X=(XL，XU)∈B2并且 XL⊆XU，则X中的一模糊粗糙集 A=(AL，AU)由一对映射μAL、μAU刻划:

为了简便，记X中模糊粗糙集全体构成的集合为 FR，粗糙集全体构成的集合为 R，μAL为AL(x)。

定理3 设 A=(AL，AU)∈FR，X=(XL，XU)∈R，则(FR(X)，⊆)为偏序集。

定义6 设FR(X)为X上模糊粗糙集组成的集合，若存在映射 DR:FR(X)×FR(X)→［0，1］，对∀A=(AL，AU)，B=(BL，BU)，C=(CL，CU)∈FR(X)满足:当 A⊆B 时，DR((BL，BU)/AL，AU)=1;当 A⊆B⊆C 时，DR((AL，AU)/(CL，CU))≤DR((AL，AU)/(BL，BU))。则称 DR为 FR(X)上的包含度函数，DR((BL，BU)/(AL，AU))为 A 在 B 中的包含度。把 DR((BL，BU)/(AL，AU))简记为DR(B/A)。

若当A⊆B⊆C时，DR(A/C)≤DR(A/B)∧DR(B/C)，则称DR为FR(X)上的强包含度函数，DR(B/A)为A在B中的强包含度。

3 模糊粗糙集包含度的生成

设FR(X)为X上粗糙集组成的集合，定义映射 g:FR(X)→H2(U)，g((AL，AU))=AL× AU，易证g为保序映射。这样就可利用(H2(U)，⊆)上的(强)包含度生成FR(X)上的(强)包含度。

定理4 设 FRL={AL|(AL，AU)∈FR(X)}，FRU={AU|(AL，AU)∈FR(X)}，DL、DU分别为FRL、FRU上的(强)包含度，则

证明由前面的定理容易推出。

下面抛开三角模与反三角模，从另一个角度通过构造某些函数由已知的(强)包含度生成新的(强)包含度。

定理5 设D是FR(X)上的强包含度，映射h:［0，1］2→［0，1］满足 h(1，1)=1，h(a，b)关于a、b是非减函数，则D＇(B/A)=h(D(B/A)，D(¯A/¯B))是FR(X)上的强包含度函数。

证 (1)∀A，B∈FR(X)，A⊆B⇒D(B/A)=1。

因 A⊆B⇒AL(x)≤BL(x)，∀x∈XL，AU(x)≤BU(x)，∀x∈XU;

同理可证 D＇(A/C)≤D＇(B/C)，故 D＇(A/C)≤D＇(B/C)∧D＇(A/B)，故 D＇是强包含度。

值得注意的是此定理当D为包含度时是推不出D＇为包含度的。

定理6 设 D1、D2是 FR(X)上的(强)包含度，映射 h:［0，1］2→［0，1］满足:h(1，1)=1，h(a，b)关于 a，b 非减，则 D(B/A)=h(D1(B/A)，D2(B/A))是FR(X)上的(强)包含度函数。

证 以强包含度为例证。

(1)∀A，B∈FR(X)，A⊆B⇒D1(B/A)=1，D2(B/A)=1⇒D(B/A)=h(1，1)=1;

(2)A⊆B⊆C⇒D1(A/C)≤D1(A/B)，D2(A/C)≤D2(A/B)⇒

h(D1(A/C)，D2(A/C))≤ h(D1(A/B)，D2(A/B))⇒D(A/C)≤D(A/B)。

同理可证 D(A/C)≤D(B/C)，故 D(A/C)≤D(B/C)∧D(A/B)，故 D是 FR(X)上的强包含度函数。

4 结语

包含度理论同模糊集理论相辅相成，成为研究不确定性问题的重要工具。不同的包含度的具体形式各有优劣，为了应用时能够有更多的模糊粗糙集的包含度的具体形式可供选择，给出模糊粗糙集的包含度的生成方法是有意义的。近年来，包含度在人工智能、模式识别等领域都有着广泛的应用，而模糊粗糙集包含度理论的丰富又极大地促进了包含度的应用。

［1］ 张文修，梁广锡，梁怡.包含度及其在人工智能中的应用［J］.西安交通大学学报，1995，29(8):111-116.

［2］ 程国胜，徐宗本.包含度族的一些性质［J］.模糊系统与数学，1999，13(2):7-11.

［3］ 袁修久，张文修.模糊粗糙集的包含度和相似度［J］.模糊系统与数学，2005，19(1):111-115.

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