☉江苏省启东中学蔡罡

把握题目特征思路顺利生成
——以三角函数问题为例说明

☉江苏省启东中学蔡罡

在数学教学中部分学生常存在“一听就懂，一过就忘，一做就错”的现象·造成这种现象的一个主要原因是老师在讲解题目时忽视对学生审题能力的培养，导致学生在审题时快慢速度掌握不好，不能抓住题目的“题眼”·因此老师要讲授的应该是审题突破口的寻找，自己是怎么找的，这种想法和思维过程要暴露在学生面前，让学生自己体会如何寻找“题眼”·本文以三角函数问题的求解中，解题思路的寻找为例，谈几点看法，供同学们参考·

一、准确诠释条件，探寻解题思路

问题的解答都是从审题入手的，条件的审视是否全面、准确是题目能否顺利求解的关键·考题中每一个字都不是多余的，审题中尤其要注意一些重要的关键字眼，如题目给了哪些条件，由这些条件可直接或间接得出哪些有用的信息·条件与所求结论有哪些关系？如何将条件与结论进行合理转化，转化即可以是将条件化为结论，也可以将结论化为条件等·

评析：思路的生成并不是凭空产生的，题目的求解是否顺利，源于审题，题干中包含了解题所需要的全部信息，解题中如果发现某个条件没有用到，或者感觉缺少条件，那就需要对问题进行重新审视了·

二、深挖隐含条件，变不定为确定

由于近几年教学大纲对三角函数的要求在难度上有所降低，从而这一类型的试题难度不会太大·但是由于三角函数的内容繁杂，在三角解题中，公式较多且性质灵活，隐含条件多，导致部分同学顾东不顾西，故解题时稍有不慎，常会出现漏解、增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够·因此，分析研究题目中隐含的条件就显得很重要·

例2如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）= cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图像如图1所示（图像经过点（1，0）），那么ω的值为（）·

A．1B．2C．3D.4

图1

图2

思路生成：图形是题目所给的重要信息之一，因此把握图形的结构特征是问题突破的关键·如图2，易知

又f（x）=cos2（ωx+φ）=

评析：高考解答题中根据图像求函数的解析式，关键是能根据题目中信息准确获得周期、振幅及初相这三个要素·比如两个相邻的对称轴之间的距离就是半个周期·又如某三角函数图像至少平移m（m＞0）个单位后与原图像重合，也就意味着函数的最小正周期为T=m，准确识图，巧妙用图是本题求解的关键·

三、将问题进行等价转化，化生为熟

数学问题求解的过程其实就是转化的过程，即将复杂的问题简单化，陌生问题熟悉化等，利用我们所熟悉的问题来求解陌生的问题，是常用的解题思维之一·例3已知函数（fx）=sin，任取t∈R，定义集合：At=｛y|y=（fx），点P（t，（ft）），Q（x，（fx））满足|PQ|≤｝·设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记· h（t）=Mt-mt，则（1）函数h（t）的最大值是_______；（2）函数h（t）的单调递增区间为_______·

解析：At=｛y|y=f（x）｝，点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤为半径的圆及其内部函数f（x）=

图3

坐标的集合，如图3所示·

因为f（-2）=f（0）=0，f（1）= 1，（f-1）=-1，设A高点Q的横坐标·

所以函数h（t）的最大值是2（t=4k或t=4k+2时取得）·

单调增区间为（2k-1，2k），k∈Z·

评析：化归转化思想是数学中最基本的思想方法之一，化归转化思想解题的途径是灵活多变的，通过化归转化，达到由陌生到熟悉、复杂到简单、困难到容易的转化·对于本题的解答，有效地将条件At=｛y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤｝进行等价转化，即转化为“以点P为圆心，为半径的圆及其内部函数f（x）=图像上所有点的纵坐标的集合”是问题求解的关键，并利用正弦函数的周期性、单调性与最值可求得Mt，mt，从而求得函数h（t）=Mt-mt的最大值·

四、注重解题反思，有效避错

有些问题，就思路而言，并没有错，但学生的认知能力有差距，教师要基于学生的认知水平，找到适合学生思维能力的认知途径·正如美国认知教育心理学家奥苏贝尔所言，当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时，意义学习便产生了·学习实质是新旧知识相互作用并建立联系的过程，教师的教学最基本的工作就是使新知识与学生头脑中的知识、经验、方法建立实质性联系·

反思：本题的求解学生易想到：利用sin2α+cos2α=1与已知条件组成方程组，求出sinα，cosα，从而求出tanα·

这种方法最易想到，理论上都能解出，但对有些系数复杂的方程组解起来有一定的难度·本题把方程组化为一元二次方程后，出现了无理系数，就不知如何解了·能不能避免这种复杂计算呢？

评析：在课堂上，教师要鼓励学生把自己的思维过程用语言表达出来，进而判断这种方法是否可行，是不是顺畅，同时与其他解法比较，哪种更易想到，更简捷，哪种方法更具有通性·通过语言表达充分反应出解题过程中是否有“跳步”“漏步”现象，从而增强学生思维的严密性·

课堂是教师培养学生的主要阵地·学生在课堂上要有所得，主要的不是教师直接告知，而是通过学生自己的主动参与，自主探索，教师引导解题思路的产生，从而达到对知识的掌握，思想方法的领悟·在数学的天地里，重要的不是知道什么，而是我们是怎么知道的，而这个怎么知道的过程正是课堂中最重要的东西——生成·F