☉江苏省常熟市教育局教学研究室陈志江

基于网上阅卷的试题分析与教学建议
——以一道高三解析几何试题为例

☉江苏省常熟市教育局教学研究室陈志江

一、问题的提出

目前高三统考大多采用网上阅卷，这样会有每个小题、每个学生的得分情况等大量的数据，还可以收集一个题目各种错误答案或不同的解法等，但有些学校或区域可能并没有充分研究和掌握这些学情，而导致教学中的“高耗低效”，其实如果我们能够对这些信息作好客观准确的分析，并用其指导和改进我们的后续教学，定会使教学更科学、更有针对性·本文以苏州市2015届高三期初调研测试的一道试题为例进行试题分析，希望能对现在的高三教学有所启发·

二、试题的分析

1·试题呈现

解析几何是高中数学中的重要内容，是高考中的重点和热点，同时又是教学中的难点·很多学生认为解析几何就是简单地“算”，并把考试中做不对解析几何题归结为计算不过关，不少教师也这么认为，因此教学中会大量地做题，想通过量的积累达到质的飞跃，实际却往往事与愿违·那么问题到底出在哪里？笔者希望通过分析寻找到答案·

图1

（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C的离心率·

本题主要考查椭圆方程的求解，两直线的垂直关系，椭圆离心率的计算，以及直线、圆、椭圆的相关基础知识，考查学生的运算求解能力·本次考试常熟市采用网上阅卷，两位老师双批一个题目，若在误差分数之内则取平均分；若在误差之外，则由阅卷组长仲裁给分，故分数具有很好的参考价值·

2·学生答题概况及分析

本题全市平均得分8·29分（满分16分），难度系数为0·52，其中第一问平均得分5·484分（满分6分），第二问平均得分2·805分（满分10分）·考生总数为4058人，具体各分数人数如下表：

第一问第二问整个题目分数人数分数人数分数人数分数人数分数人数分数人数6 3639 10 787 3 443 16 774 9 432 2 14 5 31 9 39 2 224 15 44 8 221 1 57 4 6 8 62 1 356 14 61 7 354 0 260 3 51 7 8 0 2028 13 11 6 1652 2 17 6 7 12 9 5 19 1 54 5 20 11 20 4 5 0 260 4 84 10 85 3 40

对上表数据进行分析，我们可以掌握如下学情·

（1）对求椭圆方程这样的基本问题绝大部分学生能顺利解决·

第一问求椭圆的方程，得满分人数为3639，占考生总数的89·67%，说明绝大部分学生对此问题的解决掌握得很好，也表明对该类问题的教学是成功的；得分在3-5分的有88人，占考生总数的2·17%，这部分学生正确得到了关于a、b、c的方程组，但计算出错了，表明少数学生对方程组的计算还不过关；得分小于或等于2分（含0分）的有331人，占考生总数的8·16%，这部分学生大都空白未做，对本题作放弃处理，查阅试卷后发现，近一半为体艺班学生·这一方面反映了学生的解题心理有问题，他们认为这样的题目肯定得不到分，于是就放弃了；另一方面给我们教师的教学找到了方向，这300多位学生应是我们对该类问题进行后续教学的重点对象，要鼓励他们树立正确的解题观点，要敢于去探讨、研究，不轻易放弃，通过平时对题目的钻研提升自己的解题能力和解题信心·

（2）对多字母运算的基本量求值问题的解决学生呈现三个层次·

第二问求椭圆的离心率，重点考查字母运算求解能力，将学生区分为了三个层次·

第一层次，得8-10分的人数为888，占考生总数的21·88%，这些同学主要采用参考答案给出的方法或思路进行求解，还有部分同学设M（acosα，bsinα）引入角为参数求解，也有一些同学设出过A点的直线，引入斜率为参数，通过韦达定理来求解M点，接着求解P点，再利用垂直求解出离心率的值·极少数同学在规范表达或计算上还有一些小问题导致1-2分的失分·

第二层次，得1-5分的人数为1127，占27·78%，这部分同学对条件多少作了些转化，但都是半途而废·出现的主要错误有：①部分同学用了第一问的条件准线为x= 4，这样直接出错了；②有不少同学设直线方程求出M点的坐标，算错了或有的算出M点后放弃往下做；③有的同学设P点然后解M点，算算也中途放弃了；④不少同学直接采用kMA·kMB作为结论使用，但未作证明；⑤不会用点M在椭圆上这个条件代入化简·总体表现出解题方向不明确和计算能力不过关两大问题·

第三层次，得0分的人数为2028，占49·98%，这个比例是比较大的，反映出有近一半的同学在这类问题的解决中毫无办法、束手无策·分析原因，一部分同学是直接放弃的，他们认为做了也做不出或想把时间放在其他题目上；一部分同学进行了尝试，但觉得字母多，分不清主次，理不清思路，这些同学绝大部分第一问是得满分的，应该是具备基本知识的，不过在刚刚进入高三，尚未进行复习的情况下，还缺乏对知识与信息的整合能力，对有一定难度的问题难以解决，这也给我们提示，在后面的一轮复习中要重点关注这些同学，同时对此类问题的解决要做好思路探索、方法提炼和恰当训练·

3·对解析几何复习教学的建议

（1）教学中要呈现解题的思维过程·

针对上述第二、三层次的学生，在教学中教师要重点呈现解题的思维过程·解析几何问题，往往解决过程长，学生要经历审题、思考、解决、出现错误、修改、调整方案等一系列环节，这就是“思维过程”·如本题中，M是主动点，P是从动点，M的移动带来直线MB、OP的转动，而由条件知MB⊥OP，这样可得方程kOP·kBM=-1，再转化到用a、c表示即可解出离心率e，其思维过程如图2所示，其中①处主要为计算，②处为问题转化，③处为消参，可分两个层次，先消x、y，再消b·

图2

这些是学生解题的困难之处，是本题能否顺利解决的障碍点，教学中只有把这些关键点突破，才能把学生点化·

因此解析几何复习中，我们一方面要合理展示教师的思维过程，教师要尽量设法使学生看到，面对一个新问题，自己是怎样寻求解决思路的，其依据是什么，特别是在思路受阻后是如何调整思路的，为什么这样调整等·另一方面，要充分展示学生的思维过程，教学中应给学生充分暴露和展示思维过程的机会，教师要关注课堂提问、板演、作业中反映出的学生思维，及时地发现学生的思维“闪光点”和存在的问题，并肯定正确、矫正错误，才能让学生在复习中打通思维、提高其求解解析几何问题的能力·

（2）要将算理与计算相结合·

现在学生的运算能力普遍较差，有些是计算出错，还有很多是不通算理·解析几何问题的解决大多需要具备方程（组）思想，一般过程为“引参—列方程（组）—消参—求值”·当然我们应该要清楚如果方程个数和未知数个数相等，都可以解出具体值，比如本题第一问，由条件可得关于a、b、c的三个方程，然后解这个三元方程组就可以了；如果方程个数少于未知数个数，最后可能会求比值，如第二问首先引参，可以设点引入两个参数x、y，也可以设直线的斜率k，但无论引入什么参数，所得方程个数总比未知数个数少一个，所以最终要求离心率实际上为求两个未知数的比值，这样宏观把握，那么我们只要去做方程的消元工作就可以了·如何提高学生的运算能力？笔者觉得除了注重学生基本运算技能的培养，还要让学生准确理解和掌握常用公式、法则及算法·数学公式、法则中，有的是运算的依据，说明了“为什么可以这样做”，有的是运算方法与步骤，给出了“如何做”的程序·对公式、法则的掌握程度会直接影响到解题的质量与速度·如果学生理解不深刻，便会陷入一种盲目迟钝的状态，出现各种各样的错误·算法其实是对问题的处理方法，但其间蕴含着为什么这样处理的一般性规律，我们的教学要直击到这些规律性的东西，这样才能让学生做一题通一类·

（3）要梳理常见题型，优化解题方法·

笛卡儿说：“我们每解一题都要成为以后解题的范例·”个人觉得所谓“范例”可以落点在两个方面，一是题型，二是方法·解析几何复习中我们要和学生梳理好常见的题型，笔者将其归纳为基本量求值问题、最值问题、范围问题、轨迹问题、定点问题、定值问题等六类，我们对每一类问题都应做好细致的研究，对每一类问题的解法要结合学生的解法进行梳理、改造，解法的探究必须做到“从学生中来，到学生中去”，要在错误中学习·错误是一面镜子，是解题教学中重要的教学资源，它能充分暴露学生的思维过程·我们暴露考试和作业中学生出现的典型错误，并进行讨论反思，让学生明白每一种方法的优点（适用面）和缺点（不适用面），让学生的思维走出误区，在错误中“拨乱反正”，从而生成新思维·只有这样，学生才能在解题时根据具体情况，选择有效、便捷的方法解决问题·就本题而言，有两点值得关注：一是要掌握一些比较常用的运算技能，如直线与圆锥曲线的交点问题中，知道一个交点的坐标，如何计算另一个交点的坐标；二是本题为基本量求值问题，解完后我们要反思解题的思路，优化解题的路径，是设点，还是设斜率，哪个简单，还是都行？对条件“MP为直径的圆”是否可以利用圆的几何性质，如何转化这个条件？如何消参更简单、便捷？

三、一点感想

以上是笔者对该试题作的粗浅分析，是基于事实与数据得出的论断·教育对数据的使用才刚刚起步，教育的数据时代即将来临，通过技术的创新与发展，以及数据的全面感知、收集、分析、共享，我们会有一种全新的研究方法，这样的研究方法，将推动一些习惯于靠“差不多”运行的事情发生巨大变革·正如哈佛大学社会学教授加里·金对“大数据分析”这样评价：“这是一场革命，庞大的数据资源使得各个领域开始了量化进程，无论学术界、商界还是政府，所有领域都将开始这种进程·”将来我们的教育教学该是怎样的，我们目前还不清楚，但我们不应只做看客，我们要有整合教学数据的能力，要有探索数据背后的价值和制定精确行动纲领的能力，要有进行精确快速实时行动的能力，我们应努力做一个创新的实践者·A