王宪春

通过曲线上的点集与方程的解集间的一一对应关系，建立曲线与方程的对应关系，是解析几何的核心问题。在学习了直线、圆、圆锥曲线的方程以后，进一步探究曲线与方程间的关系，并通过方程研究曲线的性质，深刻认识方程的几何意义。而求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。

求曲线方程，一般有五个步骤，这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似。

（1）依据已知几何条件建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）列出适合条件p的点M的集合P={M|P（M）}；（此步根据情况可以省略）

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程=f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明化简后的方程为所求曲线的方程，即验证以（4）中方程的解为坐标的点都在曲线上。

简记为建系、列式、代换、化简、证明。

为了帮助同学们更好地理解、掌握这类题型，下面我们结合具体的实例，对求一般曲线的过程和常用方法予以说明。

一、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只需利用解析几何中的一些基本定理和公式，直接列出动点的坐标（x，y）所满足的关系式，通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程。

例1：试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹。

解析：设P（x，y）为轨迹上任意一点，则|x|-|y|=2。

当x≥0，y≥0时，方程为x-y=±2，此时轨迹为以（2，0），（0，2）为端点，斜率为1的两条射线；

当x≤0，y≥0时，方程为x+y=±2，此时轨迹为以（-2，0），（0，2）为端点，斜率为-1的两条射线；……