孙朝仁 朱桂凤

数学实验为理解数学提供了内源帮助。苏科版初中《数学》教科书中提供了大量的数学实验素材，为破解难点、突出重点、消除盲点提供了研究载体;江苏科技出版社出版的《义务教育数学教科书·数学实验手册》为初中开展数学实验提供了教学载体。但由于课时长度、教学容量、实验条件的即时性局限，课堂无法完整衔接既定的数学实验。如何做好教学上的适应性衔接，值得研究。实践证明：以“实验切片”形态呈现更契合初中数学课堂现实，有利于数学实验教学的常态化开展。

一、数学实验切片教学的价值探问

在中小学数学教育中需要培养学生的建构思维，这是王光明教授的数学教育命题观。而建构思维的常态培养离不开实验切片的随机切入，因为切入的过程就是认知建构“瞬时”内源化的过程。这里的“建构”包括认知建构的外源化（意义建构双基）、辩证化（再发现已有概念和命题）和内源化（形成个性化特征的数学思想方法），而建构内源思维是切片实验努力的主流方向，是数学认知理解的动力源和原动力，具有创造的突发性并与直觉思维相联接。因此，数学实验切片（实验碎片）可以调和教学需求和容量有限的矛盾冲突，实现主实验有效切入“四基”序列并逻辑化的实验初衷，能常态落实“积累活动经验”的辅助教学功能。

就后现代教育心理学而言，数学思维的过程就是学习心理纵向活动的过程。由于实验切片承载纵向知识理序化的衔接功能（由数学到数学），因此实验“切片”的过程就是垂直化学习心理幡然醒悟的过程，也是心理学习水平渐次攀升的过程。《知识与控制》一书的作者伦敦大学的Michael Young教授将知识分为水平知识（日常生活经验的知识）和垂直知识（系统的概念性知识），认为课程知识要超越日常生活知识，垂直知识教学要悬置学生经验。这里的“超越”意味着概念心理水平的抬升，而较高层次心理水平的垂直变迁离不开切片实验的直观铺垫，因此切片实验造就垂直化学习心理样态;这里的“悬置”反映胡塞尔的哲学思想，意味着“因独立而存在，因存在而依存”的个概念经验，唯有腾出原本腾不出的时空让学习者经历切片实验，方能契合因垂直而理解并系统化衔接个概念的学习心理。

二、数学实验切片教学衔接的案例分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在实施建议中指出，积极开发和有效利用各种课程资源，注重课程内容的整合，鼓励教师自制教具以弥补教学设施的不足。这里的“利用”“整合”“弥补”反映课程教育对限量课堂的一种效益期待，“效益”离不开难点破解和重点把握，而实验切片能实现原有的教学手段难以达到甚至够不到的效果，因此切片实验贴合“问学”课堂教学内需的现状。由于概念、符号、方法规律的认知属于灰色区域，对分析思维尚未健全的初中生而言，研究衔接概念型、符号型、方法型切片实验案例尤为迫切和必要。

1.概念型实验切片

在实验切片“在数轴上表示无理数”中，设置实验流程为：（1）拼一个面积为2的正方形;（2）在数轴上表示这个面积为2的正方形的边长所对应的点;（3）经历操作，你得到怎样的结论？该实验切片是由苏科版《数学》“2.3数轴”第1课时的教学环节剪切而来。这节课共设计四个活动，“做一做和练一练”引导学生通过“自做”“自研”“合研”等外源方式习得有理数与数轴上点的对应关系;“试一试和说一说”则是“实验切片+反思归结”，引导学生通过“心做”“手做”“嘴做”等内源方式理解无理数与数轴上点的对应关系，从而实现个概念的水平化理解，示范概念型实验切片随机衔接的课堂样态。

就《义务教育教科书·数学实验手册》七年级上册“实验2：在数轴上表示无理数”设计方案而言，切掉计算机模拟环节和“在数轴上表示圆周率所对应的点”操作环节，将其放在课后作为儿童发展思维的载体;就教材呈现的实验素材而言，将“2.2有理数与无理数”的“议一议”活动素材（将两个面积为1的正方形沿对角线剪拼成面积为2的正方形）剪切做成实验切片的流程（1），而流程（2）则是教材呈现的主实验，只不过在做的过程中学生呈现两种方案（将小直角三角形的斜边或直角边放在数轴上，一端与原点重合并拼出符合条件的图形），而教材仅呈现一种直观方案（即前一种方案）。执教者这样切片实验目的有二，一是基于时空受限课堂无法衔接完整实验的客观现实;二是基于学生现有分析思维无法直接够到“在数轴上表示无理数”的理解事实。实施该实验切片，体现“理论”为“直观”让步的教学机智，进而达成因切片实验而破解难点的本质初衷，解决了理论课堂与直观实验在逻辑化关联过程中产生的时空矛盾，实现常态课堂与适应性主实验的有机接轨。

2.符号型实验切片

在实验切片“翻牌游戏”中，实验流程设置为：请取出7张扑克，全部正面朝上放在桌上，每次翻3张（包括已经翻过的）。你能够经过若干次翻牌，所有的扑克都正面朝上吗？若每次翻2张能成功吗？为什么？本实验切片由近期《数学实验手册》使用培训会的一节研讨课剪切而来。原实验是一节完整的数学实验课，共设置4个由特殊到一般的双向思维活动。笔者仅剪切前两个活动作为破解“有理数乘法符号定性”这一难点的研究载体。就苏科版《数学》七年级上册第59页呈现的数学活动“算24”而言，该实验由玩扑克活动经历内显变式并适度拓展而来;就《数学实验手册》设计的“实验5：扑克牌游戏”是对抽象算式的直观化探寻和释义，在本质层面也是对“算24”思维活动的水平拓展和垂直延伸。就实验切片作为直观理解的工具而言，笔者认为翻牌游戏的主价值在于“确认有理数乘积符号”这一结论的直观意义，不在于流程的完备和元认知的反复介入，因为数学实验起于直觉终归于理解。

苏科版《数学》七年级上册“2.6有理数的乘法与除法”第1课时，难点是有理数乘法运算“结果符号的确定”，而“有理数乘法法则”理解的难点也是抽象的“同号得正、异号得负”。为此教材编者作了直观上的努力，以水文观测中的水位上升和下降为直观背景，通过“做一做”“试一试”“议一议”螺旋上升的活动，引导学生探索法则的合理性（重在认证符号规定的合情性），其难度可见一斑。尽管新苏科版教材因容量的限制删掉“有理数乘法符号法则”（几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定。当负因数的个数为奇数时，积为负;当负因数的个数为偶数时，积为正），但在运算过程中学生依然必须内化理解它，方能正确解答。为了后续相关学习的需要，笔者剪切该实验切片，在课尾让学生在翻牌中体验“7翻3成功，而7翻2不成功”的直观原因（-1×（-1）3=1，-1×（-1）2=-1），从而内化“符号规约”的合理性，释放实验切片适切衔接应有的直观价值。

3.方法型实验切片

在实验切片“借助拼图把握配方法”中，实验流程设置为：（直观表示一元二次方程x2+6x-7=0的配方过程）（1）任意画出一个长为（x+6），宽为 x的矩形;（2）将该矩形剪成一个边长为x的正方形和长为x、宽为3的两个全等的矩形;（3）不重合、不黏贴、不再剪切的情况下能拼成正方形吗？若想拼成正方形还需添加什么条件？（4）若原矩形的面积是7，新拼成的正方形面积是多少？此时，能得到怎样的关系式？该实验切片是由新苏科版《数学》九年级上册“1.2一元二次方程的解法”第2课时（配方法）“数学实验室”素材变式加工而来。教材站在平方根的基础上讲述一元二次方程的解法直接开平方法，又在直接开平方的基础上呈现配方的方法论体系。尤其是在配方过程中，对“方程的两边总要加上一次项系数一半的平方”这一硬性规定的理解，学生处在“知其然，但不知其所以然”的“悱愤”状态，所以切入直观的图式语言尤为必要和关键。为此，笔者随机切入该实验切片，可以达成以下两个目标：一是通过剪拼图形将抽象的配方过程直观显示，让学习者体验配方规约的合情性;二是通过割补矩形构造正方形的过程，直观显化“二次项系数为1的方程，两边加上一次项系数一半平方”的合理性。另外，笔者一直认为“照单全收”不是艺术的剪切，由大量的模仿操练获得的解题技术不具有长久性，会因“消化不良”而渐次放空。因此“巧做”远比“派送”来得深刻，这与诗人陆游“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的“致用”思想血脉相连。

就教材呈现的数学实验素材而言，借助拼图特例直观表达一元二次方程配方流程的合理性。教材编者为研究x2+2x-24=0的配方过程，借助“变形+转化”方法构造可配方的形态：x（x+2）=24。这样具体运演配方的过程，就可看成一个长是（x+2）、宽是x、面积是24的矩形割补成一个正方形。这样的直观思考改造，就为形式运演切片实验的适应性制作提供可资借鉴的研究范式。就配方法在教材中的地位而言，具有“万能”称号的配方法对解答一元二次方程是不可或缺的，研究方法论意义重大。后续的一元二次方程根的判别式、二次函数的顶点式、一元二次不等式、余弦定理、圆的标准方程等基于定向变形构造完全平方式的结构体系都与配方法通体相关。就配方法的数学理解而言，初中生的经验思维和直觉思维尚占主导地位，理解抽象的配方法其难度可想而知。衔接直观实验切片成为解除理解困惑的内在需求，所以简单的操练必须为直观的理解让步，方能让技艺性模仿形成产生式系统，否则无法形成由“知”到“识”的技能。因此，在课末衔接适应性实验切片意义非凡。

三、数学实验切片教学的衔接观点

实验切片具有直击主流思维的优势，但因其辅助工具的地位，不应是教学主流，所以只在必须处插入其理解功能，实现必要的理解帮助和帮助理解。就目前研究结论而言，笔者认为在以下三个时机必须切入适应性实验切片。

1.数学内部知识无法垂直联结时需要衔接实验切片。数学内部知识的逻辑形态是梯级攀升的，垂直联结相关概念的过程，就是理解把握科学形态数学概念的再造过程。对于上述概念型切片实验涉及的有理数与无理数两概念，前者与小学算术紧密衔接，水平化理解有理数概念不困难，但从有理数走向无理数却是认识论层面的跃迁（垂直联结），没有切片实验的直观分析和数据量化实验，让儿童感知“找不到一个数的平方等于2”和感受“无限”的过程，就很难接收“无理”的无理数。因此，垂直概念无法逻辑贯通时需要切片实验的适应性帮助。

2.思维内源认知无法通达运演时需要衔接实验切片。数学力的培养应以思维概括力的作用为基础，概括力释放的过程就是内源认知思维通达运演的过程。正如上述铺成的符号型切片实验，是借助翻牌研究有理数乘法符号法则。按条件翻牌的过程就是学生内源认知概括符号论断的过程，也就是抽象的符号规约在直观运演时得以通达化，进而形成定性的内源认知产生式（负数的个数决定符号的性质）。因此，内源认知打结时需要直观的切片实验捷足先登，方能实现由“识”到“能”的纵向运演而通达。

3.客体现实经验无法调和并轨时需要衔接实验切片。中学数学课程是数学概念、原理和方法的体系，掌握方法远比中空训练来得有价值。而方法体系的产生依托于客体（学生）现实经验客观化，客体个经验调和并轨的过程就是客观经验形态的形成过程。由算术平方根到直接开平方是横向知识的序列化，而由直接开平方到配方法却是纵向知识的逻辑化。切片实验割补图形的过程，就是并轨“条件方程两边都加上一次项系数一半的平方”个经验的认识过程。唯有借助切片实验的直观调和，方能达成由“能”到“力”集体经验的变迁。

此外应注意的是，对新事物的认识需要有自己的判断力，数学实验概莫能外。实验切片更有能力担当辅助工具的责任，《义务教育数学教科书·数学实验手册》需要在后续的改造中进行适应性革新，让其贴着课堂现实行走。

（孙朝仁，连云港市教育科学研究所，222006;朱桂凤，连云港市新浦中学，222003）

责任编辑：赵赟