黄世军，张 晋，程林松

(中国石油大学(北京) 石油工程学院，北京 102249)

低渗透油藏压裂定向井产能计算新公式

黄世军，张 晋，程林松

(中国石油大学(北京) 石油工程学院，北京 102249)

基于点源势函数，采用势叠加建立定向井和压裂定向井三维势函数，推导了各向异性油藏中压裂定向井的稳态产能新公式，通过简化得到了常规定向井产能解析解。与目前已有的压裂直井和定向井产能公式比较，验证了本文公式的合理性，并进行了三维压力分布和产能敏感性分析。结果表明：压裂定向井在近井区域的等压面为一个近似椭球体，近井筒和近裂缝面压力梯度较大；压裂定向井与常规定向井对比，压裂后产能增加，而且随着井斜角的增大，压裂定向井产能增幅大于常规定向井。

低渗透油藏；压裂定向井；产能计算公式

与直井相比，定向井具有更大的泄流面积，此外水力压裂能增大泄流面积，沟通天然裂缝形成缝网，进一步增加产量。压裂定向井逐渐成为低渗透油藏常见的开发技术[1-2]。1955年Roemershauser和Hawkins[3]提出了定向井稳态产能分析的电模拟实验方法。1975年Cino-Lee[4]采用Green函数方法推导并建立了斜直井不稳定渗流数学模型和相应的产能计算公式，1979年Van Der Viis[5]提出了一个有效井筒半径修正的产能计算公式。1990年Besson[6]将三维渗流近似分解为二维渗流，建立了定向井产能半解析解公式，2001年陈要辉[7]基于势叠加和镜像反映原理建立了考虑井筒内流动压降的定向井三维势分布模型。1991年Khattab[8]针对单层和多层定向井的压力动态进行了分析。2007年Gill[9]探讨了高渗地层定向井的压力动态。2012年赵恩涛[10]采用数值模拟方法研究了单层和多层定向井产能。本文基于点源势函数，采用势叠加建立了压裂定向井三维势函数，推导了各向异性油藏中压裂定向井的稳态产能新公式。

1 假设条件

压裂定向井模型如图1所示，假设条件为：①水平、均质、等厚各向异性无限大油藏；②不可压缩单相流体，油藏中渗流符合达西定律；③在任意x-y平面上， 压裂裂缝沿最大水平主应力方向延伸 (设为x方向)；④忽略重力和井筒沿程压力损失的影响；⑤忽略裂缝内的流动压降，即裂缝具有无限导流能力；⑥压裂裂缝为垂直平面缝。

图1 压裂定向井空间示意图

2 模型的建立和求解

裂缝沿最大水平主应力方向延伸，即每一个z平面上做截面的裂缝线始终沿最大水平主应力方向[11]。这里定义为x正方向，则井筒上任意点坐标(xp,yp,zp)为

xp=x0+L(sinθcosα+tsinθcosα)；

yp=y0+L(sinθsinα+tsinθsinα) ；

zp=z0+L(cosθ+tcosθ)。

(1)

式中：x0,y0,z0为定向井生产段起始点的坐标，m；L为生产段长度，m；θ为井斜角，(°)；α为方位角(与最大水平主应力方向夹角)，(°)；t为自变量参数，0≤t≤1。

裂缝上任意点坐标(xf,yf,zf)为

xf=xp+Lfk；

yf=yp；

zf=zp。

(2)

式中：xp,yp,zp为定向井生产段任意点坐标，m；Lf为裂缝半长，m；k为自变量参数，-1≤k≤1。

无限大油藏中单相稳定渗流符合Laplace方程，即

(3)

外边界条件为

p(x,y,z)|x→∞,y→∞,z→∞=pe；

内边界条件为

式中：Kv为垂向渗透率，10-3μm2；Kh为水平渗透率，10-3μm2；p为地层压力，MPa；pe为原始地层压力，MPa；pwf为井底流压，MPa。

(4)

外边界条件为

φ(x,y,z′)|x→∞,y→∞,z′→∞=φe

内边界条件为

根据势相关理论[7,12]，裂缝微元在无限大地层中任意点M(x,y,z′)所产生的势为

(5)

对式(5)积分得

(6)

则整个裂缝面在无限大地层中任意点M(x，y，z′)所产生的势为

(7)

若已知离井较远处某位置Me(x,y,z)处压力为pe，则

(8)

式中：μo为原油黏度，mPa.s；φe为将坐标Me(x,y,z)代入φ的数值积分。

(9)

(10)

由于所建立的压裂定向井和常规定向井的产能公式求解过程中需要得到区块的压力分布，而该值的求取需要数值积分。本文的做法是：将模拟区块空间离散化，得到一系列位置坐标，分别将位置坐标代入φ，求取φ的数值积分，代入式(8)，从而求得每个离散点的压力值，对这些点的压力进行插值，从而可以求出该区块的压力空间分布。

3 模型的验证与比较

为验证所推导的各向异性油藏定向井及压裂定向井单井产能模型的合理性，采用某油田的油藏参数(表1)将简化得到的常规定向井产能公式(式10)分别与Cino-Lee公式[4]和Besson公式[6]进行了对比，结果如图2所示。

表1 油藏参数

图2 不同定向井产能公式计算结果对比

通过本文所建立压裂定向井产能计算新公式所得到的常规定向井产能与Cino-Lee和Besson斜井产能公式结果符合较好。

如果设置压裂定向井产能公式中井斜角为0，可以计算压裂直井的产能，采用相同的地层参数，与现有的压裂直井产能公式[13]进行了对比，结果如表2所示。

表2 不同压裂直井产能公式计算结果对比

从结果可以看出，两者计算的产量相近，吻合度相对较高，在一定程度证明了压裂定向井产能计算公式的合理性，能够用于压裂定向井产能的预测。

4 压力分布及产能敏感性分析

4.1 三维压力分布分析

设井斜角θ=30°，方位角α=0°，油井产量为10 m3/d，采用压力分布模型(式(9))分析了压力分布，结果如图3所示。

从图中可以看出，压裂定向井在近井区域的等压面为一个近似椭球体，z平面上压力传播不到100 m，等压线已基本为圆形；近井筒和近裂缝面压力梯度很大，尤其在裂缝的端部压力。

图3 y=125 m和z=15 m平面上压力分布

4.2 产能敏感性分析

采用所建立的压裂定向井产能计算公式进行了产能敏感性分析，这里所考虑的影响因素主要包括裂缝半长、井斜角、各向异性系数和地层厚度，分析结果如图4—图7所示。

从图4和图5中可以看出，裂缝半长、油藏厚度均与产量近于正比关系，裂缝越长稳态产能越高。

从图6可以看出，非均质性对裂缝斜井产能影响很大，非均质性越强，产量越低。随着井斜角的增大，产能增加，井斜角从30°增加到60°，产能上升30%左右，非均质性对井斜角增大带来产能的增幅也有很大的影响，非均质性越强，增幅越小。

图4 裂缝半长敏感性分析

图5 地层厚度敏感性分析

图6 各向异性和井斜角敏感性分析

图7 压裂定向井与常规定向井产能对比

从图7可以看出，压裂定向井与常规定向井对比，压裂后增产为原来的3倍左右，随着井斜角的增大，压裂定向井产能增幅大于常规定向井。

5 结 论

(1)以点源三维势函数叠加得到压裂定向井三维势函数，进而所建立的产能计算新公式，通过简化得到的斜井产能和垂直裂缝井产能公式与前人的公式具有较好的吻合度，验证了所推导公式的合理性。

(2)压裂定向井在近井区域的等压面为一个近似椭球体，近井筒和近裂缝面压力梯度较大，压裂定向井与常规定向井相比，压裂后产能增加，而且随着井斜角的增大，压裂定向井产能增幅大于常规定向井。

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责任编辑： 贺元旦

2014-11-20

国家自然科学基金项目“特低渗油藏天然缝与人工缝耦合作用的渗流机理与模型”(编号：51174215/E0403)

黄世军(1974-)，男，博士，副教授，主要从事油气渗流机理和复杂结构井产能评价研究。 E-mail:fengyun7407@163.com

1673-064X(2015)01-0047-05

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