☉安徽省庐江县乐桥镇初级中学 朱爱明

☉山东省青岛市香江希望小学 王积贤

基于初中数学教学环节中数学模型思想的渗透
——以人教版数学八年级下册为例

☉安徽省庐江县乐桥镇初级中学 朱爱明

☉山东省青岛市香江希望小学 王积贤

一、模型思想的提出

2011版义务教育数学课程标准把“模型思想”作为十大核心关键词之一，并指出模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.通过构造数学模型来解决有关问题的方法称之为模型思想.在数学教学中适当地渗透模型思想，可使抽象的数学知识形象化，对培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力有很大的作用，使学生在学习中更容易理解、加深记忆，能够灵活地运用所学的数学知识.学生已经经历过七年级和八年级上学期的学习，已经认识并初步掌握了一些模型思想，在八年级（下）的教学中涉及初中阶段运用最广的函数模型.如何发掘教材内容潜在的模型思想，并在教学中潜移默化地引导学生使用它，这是我们教师应具备的能力.模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟，使学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，通过建模改进学习方式.

二、中学数学教学实际上是数学模型的教学

数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.在初中数学中，一切数学概念、各种数学公式，以及各种运算，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都可以称为数学模型.这些模型经过教学法的加工和逻辑处理，有机地结合在一起，构成了中学的数学知识体系.在这种意义下，我们可以说中学数学教学实际上是数学模型的教学，我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.在初中教育阶段的总体要求是“渗透”.要求将数学模型思想寓于具体的概念、法则、现实问题的解决以及一般数学问题的学习和探索过程中，使学生在对数学规律与方法的探索、归纳和提炼过程中，领会数学模型的涵义，认识数学模型的作用，感受数学模型思想，体会数学的应用价值，树立数学应用的意识，初步获得发现问题、提出问题、解决简单现实问题的能力.

三、设计经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程

数学教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果.发掘教材内容潜在的模型思想，并在教学中潜移默化地引导学生使用它，这是教师应具备的能力.教师可以在新课引入、知识点讲解、例题教学、解题训练、章末小结等这五个不同的教学环节中，通过不同的方式渗透模型思想.

1.新课引入：情景创设中预设模型启发

美国数学家G.玻利亚指出：“引入问题，要活泼新鲜，有时可诙谐些或说些似是而非、自相矛盾的见解，让学生去猜，因为一旦表示出某种猜想，就会主动追求猜想的正确与否，从而热心起来.”简而言之，就是设置悬念，引起学生的好奇，以培养学生从事数学建模的兴趣.比如在教学指数时可设置以下问题情景：传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”.当64个格子放满了，将会有多少粒米呢？学生会纷纷议论、猜想、估计，认为这些米不会太多.最后教师指出：所需麦粒总数为：18446744073709551615，这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍.而要生产这么多的麦子，全世界要两千年.结论一出，学生哗然一片，教师又接着指出：在学习了指数计算后就可以很快算出结果.这时学生都流露出迫切希望教师教给他们的心情，由此引入“指数”这一数学模型，从而激发了学生学习数学的兴趣.

美国心理学家布鲁纳曾说：“学习的最好动力，是对学习材料的兴趣.”有了兴趣，就有了学习的积极性，只有学生感兴趣的东西，他才会主动积极地开动脑筋，认真思考并以最简洁、最有效的方法获得知识，兴趣的形成是一个复杂的心理过程，但总体上是在充满情趣、富有魅力的教学活动中逐渐培养起来的，并在强烈的动机中加以巩固.因此在数学建模教学活动中，教师要重视这方面的探索.精心设计教学情境，激发学生的学习兴趣.

2.新知识讲解：让学生亲历模型的构建

课程标准在课程目标的阐述中，使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平过程性目标的动词.荷兰数学教育家弗赖登塔尔也反复强调：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来.”因此，引导学生经历知识的获得过程，让学生亲历知识的再创造过程，教学中要重视概念的抽象过程，公式的推导过程，法则的归纳过程，规律的概括过程，思路的分析过程等，不但要让学生知其然，更要使学生知其所以然.让学生在探索中完成模型的构建.例如在讲述三角形三边关系时，我们可以按如下方式设计.

（1）创设情境，初步感知.出示情境图（如图1）.

图1

师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪条路最近？

生：走下面这条路最近.师：为什么？

生：走的路直.

师：从路线图中可以看出，连接小明家、邮局、学校三地，围成的是一个什么图形？

生：三角形.

师：直走的路，走过的路程是三角形的一条边，经过邮局再到学校走过的路程是三角形的另外两条边的和.

师：猜想一下，是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？

生：不一定.

（2）动手操作，验证猜想.

师：让我们动手验证一下吧！课件出示操作要求：每个小组都有4根小棒，长度分别为6厘米、10厘米、14厘米和20厘米.活动要求：（1）4个人每人拿一根小棒，记住自己的小棒有多长.

（2）轮流做记录，其他3人合作用三根小棒来拼三角形.注意：三根小棒要首尾相连.课件出示操作要求后，老师没有急于让学生动手操作，而是引导学生说一说下面要操作的内容、方法及要求，并找一小组为例说明分工要求、操作方法，然后才开始活动.学生有目的地合作拼摆、轮流记录、观察交流，老师巡视指导，记录单如下：三根小棒的长度（单位：cm），写出“能”或“不能”围成三角形：6、10、20（不能），6、14、20（不能），10、14、20（能），6、10、14（能）.

师：三根小棒不能围成三角形的原因是什么？三根小棒能围成三角形的原因是什么？（提示：每两根小棒的和与第三根小棒有什么关系？）

（3）全班交流，归纳总结.

师：根据刚才的操作，哪三根小棒能围成三角形？哪三根小棒不能围成三角形？（学生汇报，师板书）

不能围成三角形的小棒的长度（cm）

6、10、20

6、14、20

能围成三角形的小棒的长度（cm）

6、10、14

10、14、20

师：为什么有两组小棒不能围成三角形？

（大多学生沉默，师进一步引导学生拼摆）

师：同学们再次把左边两组小棒摆一摆，观察并思考为什么它们不能围成三角形.

（学生又一次操作中……）

师：在拼三角形中，比一比这两组小棒其中两条的长度和第三条的关系，你发现了什么？（有针对性的引导）

生1：因为其中两根小棒太短了，接不住头.

师：是吗？你真会观察.

生2：还有一组两根小棒和第三根小棒相等，重合了.

师：你不但会观察，还会想办法比较，你真会学习.

生3：两根小棒的长度和小于或等于第三根小棒时都不能围成三角形.

师：你说得真完整，老师很佩服你的总结能力.

为了让学生真正理解，接着老师又用自制教具在黑板上动画演示，学生观察、发现、理解了其不能围成的原因.根据学生的发现板书：6+10＜20，6+14=20，不能围成.

师：我们再来看能围成三角形的这两组数据，动手再摆一摆，你又有什么发现？

生：两边之和都大于第三边，所以就能围成三角形.

师：你是个善于发现规律的学生，真会联想.

（根据不能围成的探究方法，学生自然迁移，水到渠成地发现能围成的规律）

师：同时指着不能围成三角形的一组板书又问学生：6+20＞10，为什么这三条线段却不能围成三角形呢？（强调“任意”）

师：谁能把你的发现完整地说说？

生：三角形任意两条边之和大于第三边.

师板书结论：三角形任意两条边之和大于第三边.

数学知识、思想和方法必须由学生在现实的数学活动中理解和发展，而不是单纯地依赖教师的讲解去获得.各种能力也不是靠传授形成的，而是在数学活动中，靠学生自己去“悟”、去“做”、去“经历”、去“体验”.只有经历知识的产生、发展和形成过程，其主动性、探索性才能得到真正的发挥，学生的观察、猜测、实验、推理、概括、分析和解决问题的能力才能得到提高，对知识的理解才能加深，同时，学生才能具有学习的后劲，才能得到全面可持续性发展.

数学活动是培养数学建模思想的重要途径，教师要加强对学生活动方案、研究方式、方法的指导.教师始终是活动的组织者、引导者和合作者；学生通过交流合作，主动探究出解决实际问题的方式、方法.有效地改变教师的教学方法和学生的学习方式，培养学生的动手能力、合作精神、创新意识和实践能力，全面提高学生的素质.在数学活动过程中，老师要加强学生数学语言能力的培养.对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容.一是掌握数学语言，包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解、解释、弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词术语规范、准确、合乎逻辑.二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间以及各种数学语言的互译、转化工作，加强对学生数学语言能力的培养.

3.在例题教学中突出数学模型

传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授—接受过程的优化，而很少关注改变学生的学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论是怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么，很少关注.因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化.一碰上实际问题，就茫然不知所措.为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境.在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习.因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究，让学生博采广撷，自我“酿蜜”.例如：在勾股定理的教学中，我们可以设计这样一道例题：为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图2所示的直线AB上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA=15km，DB=10km，则阅览室E建在距A点多少千米处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？

图2

师：同学们，谁愿意把这个题目读一下.

生1：我来读.

师：生1读题时，请同学们注意题目中的“关键语句”是什么，这个关键语句可是我们解决本题的钥匙哦！

生1读完题目后，师提问：哪位同学知道这个题目的关键词？

生2抢着说：阅览室E所建的位置到C、D两所学校的距离相等.

师笑着说：生2回答正确！

师接着追问：如何求CE和DE的长呢？

生3说：连接CE和DE，那么由已知CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，可得到两个直角三角形ACE和BDE，这样可利用勾股定理求得CE和DE.

师肯定生3的分析思路，再追问：CE和DE分别等于什么？

生4：可设AE的长为xkm，那么BE=AB-AE=（25-x）km，这样可借助勾股定理，用含x的代数式来分别表示CE和DE的长.

师：生4说得很好.请同学们给予掌声！

师：哪位同学上来把这题的解题过程写一下.

（生5上来向同学们展示了他的求解过程）

解：如图3，设阅览室E到A点的距离为xkm，连接CE、DE.

图3

在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102.

因为点E到点C、D的距离相等，即EC=ED，所以EC2= ED2，即x2+152=（25-x）2+102.

解得x＝10.

所以阅览室建在距A点10km处.

通过师生互动，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题——展示了方程模型的建立过程，学生从中感受到用数学的眼光审视客观世界的乐趣.同时也显示了数学模型的神奇！

例题教学是课堂教学的中心环节，教师应抓住有利时机，通过例题教学突出和强化数学模型思想对解题的指导作用.具体地讲，数学建模方法的操作程序大致为：

图4

由此，我们可以看到，运用数学建模解决实际问题，必须首先通过观察、分析提炼出实际问题的数学模型，然后把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模思想贯穿在教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物的关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯.

4.解题训练中运用数学模型

我们在平时的解题教学中，要善于将一个数学模型转化为另一个数学模型，以求得问题的巧解.有些题目本身又孕育着不同的数学模型，我们要善于引导学生来构建数学模型.首先，教师在布置练习时，要明确所布置的题目要蕴含数学模型，以此来强化学生运用数学模型解题的意识.其次，加强数学模型训练的科学性和针对性，力争达到“举一反三”、触类旁通的效果.善于设置一题多变，一图多用，帮助学生不断提炼数学模型，归纳方法，从而达到拓展学生的解题思路，提高学生运用数学模型解题的自觉性和主动性.由于有的数学问题包含着多种可能的情形，不能一概而论，于是，这些问题的解决就需要按照可能出现的所有情况分别给予讨论，做到既不重复又不遗漏地得出各种情况下相应的结论，进而达到全面解决整个问题的目的，这种思考问题的方法就是分类讨论.如已知一直角三角形的两边，或对于无图形的应用问题，常采用分类讨论的数学思想来解决，防止漏解.

例如：已知直角三角形两边长分别为5和12，那么第三边的长是__________.

由于本题中未指明哪条边是斜边，因此12可以是斜边，也可以是直角边，因此要进行分类讨论.

（1）若5和12是直角边，那么第三边的平方为：52+ 122=169，所以第三边的长为13；（2）若12是斜边，那么第三边的平方为：122-52=119，所以第三边的长以第三边的长是

通过问题的引导让学生尝试探索新知识.为此，教师要善于设计蕴含数学模型思想的问题背景材料，激励学生对将要学习的新知产生欲望.在阅读题目过程中，学生如果没有良好的阅读能力，是不会发现问题的答案的，培养学生的阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料、了解材料.通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学.前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学”，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力.还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读.

5.在总结知识的同时总结数学模型

数学知识本身具有习题性，数学模型也具有系统性.教师在教学中不但要引导学生对知识进行整理，同时也要引导学生对教材（包括例题、习题）深入挖掘，提炼总结其思想实质，揭示归纳方法，以便发挥数学模型思想的整体功效.教师一方面在平时的教学中要求学生养成总结整理常用的数学模型的习惯，另一方面在学完某一章后都及时地归纳、总结本章中所涉及的数学模型.

若按初中数学体系分，有依据相等关系抽象成的方程模型，以解决利息和税率、百分率、工程及劳力调配等问题；有依据平面几何性质抽象成的几何模型，以解决零件加工、残轮修复、工程选点、道路设计及飞轮、皮带、拱桥等计算的问题；对测高量距、航海、机翼、渠坝坡比、燕尾槽、屋架的计算等应用问题，可建立三角模型予以解决；还可建立直角坐标系模型，以解决投物、射击、喷灌等物体运动的轨迹有某种规律，或者变量的变化具有某种函数关系的实际问题；在市场经济大潮中，人们更加注重对普遍存在的诸如造价最低，产出、利润最大，风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈、最优化等问题的研究，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，抽象成函数的（区间）极值（目标）模型等.以人教版八年级下册的一次函数复习为例，可把函数进行如下的整理.

（1）根据已知条件建立函数关系式（即函数模型），然后由待定系数法求得函数关系式.

（2）在求某些量的最优化方面应用很广.如教材P103问题2的最节省费用问题的租车方案设计，P109第15题的调运总费用最少等，遇到这类问题，解决的关键在于提取题目中的数量关系，把实际问题转化为纯数学问题，构造一次函数模型加以解决.

（3）建立某些物理问题的数学模型.如教材P99习题第3题有关弹簧伸长与所挂重物质量之间的数量关系；教材P108复习题第8题容器注水过程中，水面高度随时间的变化规律等题目，这是编者精心安排的学科知识之间的渗透，必要时教师要分析有关的知识背景.

再如，在对第二十章“数据的分析”进行总结时，教师可以展示本章知识的网络结构图：

图5

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的.数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，数学建模通过“从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际”这一过程，培养了学生的创新精神和应用实践能力.所以说，数学建模是改善学生学习方式的突破口，是体现数学解决问题和数学思维过程最好的载体之一.

四、几点思考

1.选择适当的数学问题，渗透数学建模思想

（1）从生活中的数学问题出发，强化应用意识.日常生活是应用问题的源泉之一.现实生活中有许多问题可通过建立数学教学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识建立初等数学模型，加以解决.学生很喜欢解决这样的实际问题，只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，就会加深学生对数学知识的理解，增强其应用数学的信心，获得必要的应用技能.

（2）从社会热点问题出发，介绍建模方法.如国家大事、社会热点、市场经济等，是初中数学建模教学的好素材，适当地选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不但可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了条件.

2.以活动为手段，培养建模能力

利用课外活动时间开展综合实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分.为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作.通过教学，使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题.

总而言之，应用数学知识去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活的特点，数学建模教学的本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程.

3.挖掘教材，创设建模氛围

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源.教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成的，看似寻常，实则内涵丰富，有不寻常的价值和应用功能.教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”，形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程.对例题、习题的教学中，采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）.教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业.对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出以及知识的形成和发展过程，解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建解决实际问题的基石，搭建登高望远的平台.

培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生的建模能力，即把实际问题转化为纯数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨，不断地探究、反思，经历思维碰撞、纠错磨练.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.林群.义务教育课程标准教科书数学八年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.韩中庚.数学建模方法及其应用（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

4.林军，陈翰林.数学建模教程［M］.北京：科学出版社，2011.

5.沈文选，杨清桃.数学思想领悟［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.