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简化数学高考解析几何试题运算的“三化与四策”

2015-04-26林新建

福建教育学院学报 2015年11期
关键词:双曲线椭圆运算

林新建

(漳州第一中学,福建 漳州 363000)

解析几何试题一直是数学高考的难点。它的难不在于向量的包装,也不在于几何条件的代数化,而在于运算。然而能力又恰恰体现在如何简化运算上,因此,简化运算便成了解决高考解析几何试题的重中之重了。那么,简化解析几何试题的运算有哪些方法呢?

一、解题方法巧用“三化”

(一)特殊化

特殊化是特殊与一般思想在数学高考解题中的具体应用。它是依据问题在一般情况下真则在特殊情况下亦真,反之,在特殊情况下不真则在一般情况下亦不真的原理——肯定某一结论或否定其余结论的解题过程。在解析几何中,善于运用特殊化方法,可帮助我们快速探明问题的解决方向,有效简化运算与求解途径。

例1(2009 年全国高考山东卷理科22 题)

(Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。

若满足条件的圆存在,设其方程为x2+y2=r2,由圆的任意一条切线与椭圆的两个交点A、B 均满足这个一般性结论可知,圆的某一条特殊切线,如x=r 与椭圆E 的两个交点A、B 必也满足,由此可将A(r,r)代入得,从而知若该圆存在,则圆的方程必为

确定出圆的方程,证明就是简单的事了,在这里,一般问题特殊化的数学思想引领起了决定性作用,凸显了特殊与一般思想在探索解题方向上的重要作用。

(二)极限化

极限化是有限与无限思想在数学高考解题中的具体应用。有限与无限相比,有限显得具体,无限显得抽象,对有限的研究往往先于对无限的研究。反之,当积累了解决无限问题的经验之后,可以将无限问题转化成有限问题来解决。这种有限变无限、无限化有限的解决数学问题的方法就是极限化方法,可以有效简化解析几何运算,轻松得到问题的答案。

例2(2011 年北京市高三质检考试题)

若双曲线x2-y2=a2(a >0)的左、右顶点分别为A、B,点P 是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB 的倾斜角分别为α、β,且β=mα(m >1),那么α 的值是( )

解析:本题求解若考虑坐标运算,需设出点P 的坐标,运用点P 的坐标满足双曲线的方程得到关于直线PA、PB 的斜率tanα、tanβ、所满足的关系式tanα·tanβ=1,进而将β=mα 代入,得到,所以α=。其实,本题作为一个选择题,若从思想去立意,运用极限化方法去无限逼近,则根本无需计算:

当P 趋向于无穷远时,直线PA、PB 趋近于直线PO,它们都趋近于渐近线y=x,此时m →1,验证选项即知正确答案为D。

这样解答,简单快捷,凸显了有限与无限相互转化在简化繁难运算上的巨大威力。

(三)坐标化

解析几何的本质思想是“用代数方法研究几何问题”,而坐标化方法正是这一重要思想在数学高考解题中的具体应用。对于给定的几何问题,若能巧妙运用坐标化方法予以建系求解,则能大大减少运算量,有效简化求解过程。

例3(2008 年高考江苏卷理科18 题)

解析:本题求解的常规方法是:设BC=m,∠ACB进而可求得其最大值为。以上方法思路直观但运算繁杂,解题不易进行,若能巧妙运用坐标方法予以求解,则可有效减少运算量,轻松快捷:

以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系。

设C(x,y),由条件易得点C 的轨迹方程为(x-3)2+y2=8,从而

二、解题过程善用“四策”

(一)转换

转换是正难则反思想在数学高考解题中的具体应用。解题需要套路,看到这道题,你的第一反应是什么?迅速生成常规方案,也即第一方案。为什么要有套路?因为80%的高考题是基本的、稳定的,考查运算的敏捷性。没有套路,就没有速度。问题是,当实施第一方案遇到障碍时,我们的策略是什么?

例4(2006 年高考湖北卷理科20 题)

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP 分别与椭圆相交于异于A、B 的点M、N,证明点B 在以MN 为直径的圆内。

处理难题,从方法论的角度讲就是转换视角。常态方案不行,换一个方案行了;这种说法与思路不通,换一个说法通了;在一个领域内繁复的问题,换一个领域简单了。对处理解析几何试题的繁难运算,自不例外!如若不是这样,靠什么考查能力?又凭什么说高考是一种选拔性考试呢?再如,

例5(2008 年高考全国卷Ⅰ理科21 题)

双曲线的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦点F 垂直于l 的直线分别交l1、l2于A、B 两点。已知成等差数列,且同向。

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段长为4,求双曲线的方程。

解析:本题难在第(Ⅰ)问,若考虑坐标运算,就得由渐近线方程与直线AB 的方程联立,求出A、B 的坐标,进而求得,再利用它们成等差数列的条件来解,其运算的繁难程度可想而知。

稍微一转换,便可充分利用平面几何的性质,从而避免了繁杂的坐标运算。这也正是我们在解析几何中经常遇到的问题:三种运算(坐标、向量、逻辑),我们选择什么?特别是在实施运算过程中遇到障碍时,如何从思想立意去调整和转换运算?

(二)构造

构造是构造思想在数学高考解题中的具体应用。把转换作为求解解析几何问题的策略无疑是必要和合理的,它要求我们在简化繁难运算时必须具备转换意识,这样才能有效地解决问题。但是,转换并不总是永远畅通无阻的。正像走路一样,我们要迈向目的地(结论),从起点(条件)出发,不断地变换方向和路径,从一处转向另一处逐渐向结论靠拢,但有的地方却无法过去,需要修筑道路,架设桥梁,这就需要构造。

例6(2010 年高考辽宁卷理科20 题)

解析:本题很难,难在运算,许多考生依常规设出直线AB 的方程,联立椭圆方程运用韦达定理消参,以期获得a、b、c 的关系式以求得离心率,结果均半途而废,望繁难运算兴叹而已。其实,若从思想上立意,构建出焦点三角形,便可运用椭圆定义予以求解,这样几无运算量,问题也可轻松获解。

设F'为左焦点,连AF'、BF'。设|BF| =m,则|AF| =2m,|BF'|=2a-m,|AF'|=2a-2m,∠AFF'=60°,∠BFF'=120°。

在△AF'F 和△BF'F 中,分别施行余弦定理,可得:

化简得:a2-c2=(2a-c)m,2(a2-c2)=(2a+c)m,消去m,即得

借助(Ⅰ)问,第(Ⅱ)问唾手可得:

(三)类比

类比是“类比思想”在数学高考解题中的具体应用。在解析几何中,若能根据两个对象在某些方面的类同之处进行类比,把信息从一个对象转移给另一个对象,可大大减少运算量,有效简化求解过程。

例7(2009 年高考辽宁卷理科20 题)

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

解析:第(Ⅰ)问求椭圆方程,运用定义法求解可有效减少运算量,容易求得椭圆C 的方程为1。第(Ⅱ)问,设直线AE 的方程为代入并由韦达定理可得进而得到

注意到点F 坐标的计算与点E 有类同之处,所以可进行类比,只需将k 换成-k,即得,运用斜率公式即可求得kEF=为定值。

因为类比,我们减少了关于点坐标的计算,无疑为紧张的考试节省了宝贵的时间。

(四)化归

化归是“化归与转化思想”在数学高考解题中的具体应用。在解析几何中,若能有效运用化归的方法,可使繁难的运算化繁为简,化大为小,从而使问题轻松获解。

例8(2010 年高考北京卷理科19 题)

在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A(-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于

(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;

(Ⅱ)设直线AP 和分别BP 与直线x=3 交于点M,N,问:是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。

难在第(Ⅱ)问,假设存在满足条件的点P(x0,y0),由△PAB 与△PMN 的面积相等可得|PA|·|PB| =|PM|·|PN|,由于M、N 的坐标未知且不易求得,许多考生至此束手无策,望运算兴叹而已。

怎么办?稍作转化,将|PA|·|PB| =|PM|·|PN|转化为,再化归为,容易解得,代入即可求得

若作以下化归转化,则几乎不用计算:

延长AB 交直线x=3于R,则△PAB 与△PMN的面积相等这一条件可转化为△AMR 与△BRN的面积相等。由于A 到直线x=3 的距离为4,B 到直线x=3 的距离为2,从而知即M 为NR 中点。又B 为AR 的中点,所以P 为△ARN的重心,从而,代入椭圆方程即可求得

本题求解还可将△PAB 与△PMN 的面积相等这一条件化归转化为△ABM 与△NBM 的面积相等,进而转化为直线AN 与BM 平行两直线斜率相等,读者不妨一试。

因为转化,我们将繁难的解析几何运算进行得如此简单!否则,我们做什么?

以上是笔者就数学高考解析几何试题的运算简化策略所作的探析,这些方法具有较强的操作性,但怎样想到运用这些方法,则需要思想立意。学生怕数学,很重要的一个原因在于数学的繁难运算,只要我们树立运用思想引领解题的意识,运算就会变得很简单,解题就能做到举重若轻、挥洒自如。

[1]林新建.从高考试题谈新课程数学复习的“六性”[J].数学通报,2010(10).

[2]陈元章,林新建.新课程数学高考复习的辩证之道[J].数学通报,2013(7).

[3]林新建.从2009 年高考试题谈复习教学的八个关注[J].中学数学研究,2010(1).

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