张芨强 李晓平 罗 诚 袁 淋 杜知洋

1.中海石油(中国)有限公司湛江分公司， 广东 湛江 524057；2.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室， 四川 成都 610500；3.中国石油川庆钻探工程公司地质勘探开发研究院， 四川 成都 610056;4.中国石化西南油气分公司川东北采气厂， 四川 阆中 637402



基于椭圆流模型计算压裂后气井产能新思路

张芨强1,2李晓平2罗 诚3袁 淋4杜知洋2

1.中海石油(中国)有限公司湛江分公司， 广东 湛江 524057；2.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室， 四川 成都 610500；3.中国石油川庆钻探工程公司地质勘探开发研究院， 四川 成都 610056;4.中国石化西南油气分公司川东北采气厂， 四川 阆中 637402

通常可将低渗透气藏中垂直裂缝井的流动划分为裂缝区域外的椭圆径向流和裂缝内的线性流。基于稳定渗流理论和椭圆流模型，引入椭圆坐标系下的拉梅系数和拟压力，通过对影响气井产能多种因素的考虑，建立了垂直裂缝井在有限导流下的产能预测新模型。新模型计算结果表明：启动压力梯度和应力敏感使气井产能减小；滑脱效应使气井产能增加；裂缝导流能力和裂缝长度的增加使气井产能增加，但一定的裂缝长度对应一个最佳的裂缝导流能力；随着地层污染带半径增大和渗透率降低，气井产能呈下降趋势且下降幅度也在增大。利用新模型公式计算出的无阻流量与实际产能测试结果误差较小，说明推导的产能预测方程具有一定的可靠性。

低渗透气藏；产能方程；椭圆流；拉梅系数；启动压力梯度；滑脱效应；应力敏感

0 前言

低渗透气藏渗流实验结果表明，气体在启动压力梯度[1]、应力敏感[2]以及滑脱效应[3]等因素的影响下会出现非线性渗流特征[4-6]。对于低渗透气藏中的气井，为了获取较高的产能，必须实施压裂改造。近些年来，计算压裂后形成垂直裂缝井产能的方法主要有利用保角变换法计算[7-8]，利用椭圆流模型和双线性流模型计算[9-11]，将储层中气体的流动考虑为径向流和线性流组合模型计算[12-13]，以及其他垂直裂缝井的产能计算方法[14-17]。其中，利用椭圆流模型的计算主要采用了等价发展矩形的思想，相当于把平面椭圆形的流动区域简化为矩形，这样会导致计算结果的偏差。本文从实际流动区域入手，在椭圆流模型的基础上引入了椭圆坐标系下的拉梅系数和拟压力，同时采用在椭圆坐标系下对椭圆积分的方法，重新研究了低渗透气藏垂直裂缝井产能计算方法。

1 压裂井渗流物理模型

图1 气井压裂后渗流物理模型

气井在压裂后改变了地层中流体的渗流方式，形成了椭圆流动，见图1。对压裂后的气井做出如下假设：

1)压裂后形成沿井眼对称分布的有限导流垂直裂缝。

2)裂缝剖面为与气层等高的矩形。

3)地层中存在裂缝外的椭圆流动区域和裂缝内的线性流动区域。

4)流体为单相、均质流体，渗流过程中等温且无任何特殊的物理化学现象发生。

5)地层中存在污染。

2 压裂井产能预测模型

2.1 地层椭圆流

直井压裂后形成的垂直裂缝井会改变气体在地层中的渗流方式，诱发以裂缝端点为焦点的平面二维椭圆流[18]。由几何学知识可知直角坐标和椭圆坐标的关系为：

x=afcos(η)y=bfsin(η)

(1)

af=Lfch(ξ)bf=Lfsh(ξ)

(2)

式中：x、y分别为直角坐标；η、ξ分别为椭圆坐标；af、bf分别为椭圆的长半轴、短半轴；Lf为裂缝半长，m；ch(ξ)、sh(ξ)分别为ξ的双曲余弦、双曲正弦函数。

根据气体的稳定渗流理论，在椭圆坐标系下考虑启动压力梯度、应力敏感以及滑脱效应的气体运动方程[5-6，19]为：

(3)

引入椭圆坐标系下的拉梅系数(hξ、hη)和汉密尔顿算子p，带入式(3)后对η在[0，2π]积分可化简为：

在椭圆坐标系下，对产量公式两边同时积分，有：

(5)

式中：qsc为气井压裂后地面产量，m3/d；Bg为气体体积系数，Bg=ZTpsc/(pTsc)；A为渗流面积，m2；h为气层厚度，m。

联立式(4)和(5)，化简可得：

式中：Z为气体偏差因子；psc为标况下气体的压力，0.101 325MPa；T为地层温度，K;Tsc为标况下气体温度，293K。

其中：S=(Ki/Ks-1)(ξs-ξf)，此时ξf对应长轴为Lf的椭圆，由式(2)可知ξf=0，而ξe可通过等压椭圆族方程进行求解[20-22]，可得ξe=ln(2re/Lf)。

式中：ξf为椭圆坐标系下裂缝处坐标；ξe为椭圆坐标系下气藏外边界坐标；ξs为椭圆坐标系下污染带坐标；re为供给半径，m；pf为裂缝两端的压力，MPa；S为污染带的表皮因子；Ks为污染带渗透率，10-3μm2。

2.2 裂缝区域线性流

气体在裂缝中流动的物理模型见图2。气体从裂缝中流动到井底时，存在高速非达西效应，ForchheimerPH[23]通过实验提出了以下二次方程描述高速非达西流动：

(9)

(10)

(11)

式中：Kf为裂缝渗透率，10-3μm2；v1为流体在裂缝中的流速，m/d;Wf为裂缝宽度，m；βg为气体紊流系数，m-1；Mair为气体相对分子质量；γg为气体相对密度；R为摩尔气体常数，0.008 471MPa·m3/(kmol·K)；ρg为气体密度，kg/m3。

图2 气体在裂缝中流动的物理模型

将式(10)和(11)带入式(9)，对x从rw到Lf积分，p从pwf到pf积分，且μg和Z的值按平均压力处的值计算，并转化为矿场实用单位制得

最后联立式(8)、(12)即得低渗透气藏有限导流垂直裂缝井的产能预测模型：

(13)

对于方程组(13)，首先输入相关的计算参数pe、pwf等，接下来给出一组pf值，将pf值分别带入到式(13)的两个方程中，利用牛顿下山法和二次方程求根公式法分别求解出pf和qsc对应的两条关系曲线，曲线交点上的值即为井底流压pwf对应的产量qsc，改变pwf的值，便可求得无阻流量qAOF等参数。

3 实例分析

3.1 产能计算

3.2 产能影响因素分析

根据3.1节的压裂气井的基本参数，分析影响气井无阻流量的敏感性因素。

3.2.1 非达西效应影响因素

启动压力梯度、应力敏感和滑脱效应对气井无阻流量的影响见图3～5。从图中可知，启动压力梯度和应力敏感与气井无阻流量都成负相关，而滑脱效应与气井无阻流量成正相关。说明启动压力梯度和应力敏感会阻碍气体的流动，在气体的渗流过程中产生一种“附加阻力”；滑脱效应会促进气体的流动，在气体的渗流过程中产生一种“附加动力”。

图3 启动压力梯度对气井无阻流量的影响

图4 应力敏感对气井无阻流量的影响

图5 滑脱效应对气井无阻流量的影响

3.2.2 裂缝参数

裂缝参数对气井无阻流量的影响见图6。从图6可知，裂缝长度和裂缝导流能力对气井无阻流量的影响相似，它们的增加都会使无阻流量增大；但在一定裂缝长度下，气井无阻流量随着裂缝导流能力的增加会很快达到一个上限值。说明裂缝长度和裂缝导流能力的增加增大了气体流向井筒的通道；一定的裂缝长度对应一个最佳的裂缝导流能力。

图6 裂缝参数对气井无阻流量的影响

3.2.3 污染带参数

污染带参数对气井无阻流量的影响见图7。从图7可知，随着地层污染带半径增大和污染带渗透率降低，气井无阻流量呈下降趋势且下降幅度增大。说明污染带半径的增大和污染带渗透率的降低对气体的渗流会产生更大的阻力；污染带半径越大，污染带渗透率对无阻流量的影响就越大；污染带渗透率越大，污染带半径对无阻流量的影响就越小。

图7 污染带参数对气井无阻流量的影响

4 结论

1)建立了垂直裂缝井在有限导流下的产能预测模型，经实例计算验证其可靠性较高，为求取压裂气井产能提供了一种新思路。

2)启动压力梯度和应力敏感对气体渗流产生一种“附加阻力”，使气井产能降低；而滑脱效应产生一种“附加动力”，使气井产能增加。

3)裂缝导流能力和裂缝长度的增加扩大了气体的流动通道，使气井产能增加；一定的裂缝长度对应一个最佳的裂缝导流能力。污染带渗透率的减小和污染带半径的增大会阻碍气体的流动，使气井产能降低；污染带半径越大，污染带渗透率对气井产能的影响越大；污染带渗透率越小，污染带半径对气井产能的影响越大。

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2015-02-15

国家杰出青年科学基金项目“油气渗流力学”(51125019)

张芨强(1990-)，男，四川南充人，硕士研究生，从事油藏工程及油田开发研究。

10.3969/j.issn.1006-5539.2015.06.011