田玲玲 祝家麟

（山西财经大学应用数学学院1） 太原 030006） （重庆大学数理学院2） 重庆 400030）

0 引 言

渗流问题是流体力学中的一个重要领域，也是岩土、水电工程设计中的重要课题之一.这类问题可归结为Laplace方程（包括非齐次的）或Possion方程.边界元法在渗流计算研究中有着广泛的应用，用边界元法研究渗流问题也比较早，20世纪70年代后期边界元法得到了较快的发展.由于科学技术的迅猛发展，人们遇到了许多大规模的科学和工程计算问题，如何快速更有效的求解这些问题，成了工程技术人员和学者的一大难题.

区域分解算法是20世纪80年代崛起的新方向，由于该方法能将大型问题分解为小型问题﹑复杂边值问题分解为简单边值问题﹑串行问题分解为并行问题，再加上并行计算机的出现和广泛应用，这些问题得到了更有效的解决，区域分解算法作为并行计算和处理这类问题的主要方法，愈来愈受到人们的重视.

1 渗流问题描述及算法构造

根据水量守恒原理和达西定律［1－3］进行推导，考虑如下描述的渗流问题：

总边界Γ1＋Γ2，Γ1上位势u已知，Γ2上是渗流量q已知，n1，n2分别是x1，x2方向上的余弦.k1，k2为渗透系数，并且满足Q／A＝kH／L.式中：Q／A为单位时间内渗过材料试件单位面结的水量；H／L为压力水头和渗透距离（试件的厚度）的比值.当介质是各向同性时，各个方向上k1，k2相等.

为简明地说明该方法，仅讨论将区域分解成2个非重叠区域的子区域［4］的情况（见图1），假定区域Ω1，Ω2为正交各向异性介质渗流.计算步骤如下.

步骤1 首先任意给定公共边界Γ0上的初始值u0（或q），设定循环控制误差ε.

步骤2 在2个子区域上分别用直接边界元法同时求解如下a和b 2个问题.

图1 非重叠区域分解图

取τ0＝＋（1－α）（0＜α＜1）作为公共边界上的新的已知条件，再次求解如下c和d问题：

步骤4 此时2个问题分别求出

步骤5 若｜u0－u1｜＜ε，停止计算，u1即为所求.否则重复重复上述步骤直到前后2次求得的值相差小于给定的ε.

步骤2和步骤5步利用通用的直接边界元法求解，其边界积分方程为

2 边界积分方程的数值解法

用常单元离散求解［5］，边界积分方程为

按照常单元的特性，以每一单元上的节点之值u＊，q＊（i＝1，2，…，n）代替单元上的值，即在每一单元上uj，qj是常量，则有

式中：u＊，q＊为基本解及其法向导数，它们在每一单元上的积分应视为已知.设

这就是离散后得到的代数方程组.内部点的位势的离散形式为

设（xi，yi）是i点坐标，（x，y）则是边界上任一点的坐标.设u满足Laplace方程，在Ω内及Γ上有连续一阶导数.由是基本解［6］，由u＊的表达式知

要求解给出的线性方程组，必须求解上面推出的系数矩阵和右端项.

由

因为矢径r的变化方向总是与Γi的法向n垂直，故＾Hii＝0，于是

如果设单元长度为Γi，则在量纲一的量坐标ξ下

式中：d为矢径r在单位法向n方向上的投影，即为i点到单元Γj的距离；wm为给定的权，也称求积系数.

非对角元Gij利用如下的解析法计算.

3 算 例

一个混凝土水坝如图2所示，计算水坝下水经过2种介质的渗流，上层介质为均质的，下层介质为正交各向异性的，利用编制的非重叠区域分解边界元程序计算公共层面的流速，绘制等势线图并与文献［7］的等势图做比较.

图2 通过混凝土水坝底部的渗流图（单位：m）

将研究区域分2个子区域，整个内外边界划分了70个常单元，计算结果见表1.

表1 公共边界上若干点的计算结果

另外还可以画出坝基等势线如下图3，图中x轴为水坝底部横向位置，y轴为水坝下层介质区域纵向位置.

图3 水坝基地等势线图

计算结果等势线图与文献［7］的比较，可以看出基本吻合，说明本文所用方法是可行的.

4 结 论

本文就非重叠区域分解和边界元结合起来用于求渗流方程做了一些尝试，构造了求解渗流问题的边界元非重叠区域分解的并行算法，最后利用自己编写的程序，做了数值算例.得以下主要结论.

1）边界元法需要准备的数据比较少，具有降维作用，可以解决奇异性问题特别适合解无限域问题以及远场计算精度高等特点.

2）用边界元法求解流体力学问题，因为不需要在内部剖分单元，程序处理一般比有限元法容易.

3）非重叠区域分解并行算法仅在边界上交换数据，比有限元法简单，该法直接利用这些边界量作为子区域联系的纽带.

［1］张有天，王 镭，陈 平.边界元方法及其在工程中的应用［M］.北京：水利电力出版社，1989.

［2］杨德全，赵忠生.边界元理论及应用［M］.北京：北京理工大学出版社，2002.

［3］钱孝星.水文地质计算［M］.北京：水利电力出版社，1993.

［4］吕 涛，石济民，林振宝.区域分解算法：偏微分方程数值解新技术［M］.北京：科学出版社，1992.

［5］祝家麟.椭圆边值问题的边界元分析［M］.北京：科学出版社，1991.

［6］BREBBIA C A.The boundary element method for engineers［M］.London：Pentech Press，1978.

［7］BREBBIA C A.Heat transfer，fluid flow and electrical applications［M］.London：Computational Mechanics Publications，1988.